Este libro pretende tomar algunos temas conceptualmente conflictivos que resulta interesante reforzar para contribuir a una mejora en la práctica docente. No se intenta abordar toda la problemática con la que el profesor se enfrenta en su quehacer diario, ya que es muy compleja y tiene varias aristas que el docente debe conocer, tales como:

1. conocimientos propios de la disciplina,
2. teorías del aprendizaje, y
3. teorías epistemológicas.

Cada uno de estos aspectos se apoya en los otros, y dentro de ellos el contraste es bien notorio. Hemos enunciado las distintas aristas de la tarea docente y pasaremos a analizarlas, comenzando por la última mencionada.

¿Qué dicen las teorías epistemológicas?

Con el estudio de las teorías epistemológicas tendremos en claro qué clase de matemática es importante que los niños aprendan, o cuál será la matemática adecuada para el nivel inicial.

Para decidir sobre este tema se debe tener en cuenta el aporte esencial realizado por Jean Piaget (1975) al campo de la enseñanza, con su teoría de los estadios del desarrollo del niño. Piaget, como biólogo, señala que el desarrollo de la inteligencia de los niños corresponde a adaptaciones del individuo al ambiente o al mundo que lo circunda, y que ese desarrollo corresponde a un principio de maduración biológica. Este proceso de maduración obedece a distintos estadios que son parte de un desarrollo continuo.

Piaget distingue cuatro estadios del desarrollo cognitivo, diferenciados entre sí. Estos son:

I. Estadio sensoriomotor (desde el nacimiento hasta los 2 años)

Características predominantes:

• Desarrollo de esquemas sensoriales y de coordinación física.
• No son capaces de ninguna representación interna de la matemática.
• Ausencia de operaciones simbólicas.
• Estadio prelingüístico.

II. Período preoperatorio (de 2 a 7 años). De pensamiento prelógico.

Características predominantes:

• No está sujeto a acciones externas; interioriza las acciones de la etapa anterior.
• Representación significativa (lenguaje, imágenes mentales, juegos simbólicos, invenciones imaginativas).
• Habilidad de pensamiento lógico limitada.
• Ausencia de reversibilidad (invertir mentalmente una acción física y volver atrás).
• Ausencia de concentración (no pueden retener mentalmente cambios y dimensiones al mismo tiempo).
• Lenguaje y pensamiento egocéntrico, incapacidad para tomar en cuenta otros puntos de vista.
• Juego simbólico como proceso característico.

III. Estadio de operaciones concretas (de 7 a 11 años). De pensamiento lógico concreto.

Cuando aquí se habla de operaciones, se hace referencia a las operaciones lógicas utilizadas para la resolución de problemas. En esta fase o estadio, el niño ya no solo usa el símbolo; es capaz de usar los símbolos de un modo lógico y, a través de la capacidad de conservar, llegar a generalizaciones.

• Alrededor de los 6/7 años: adquisición de la capacidad intelectual de conservar cantidades numéricas: longitudes y volúmenes líquidos.
• Alrededor de los 7/8 años: desarrollo de la capacidad de conservar los materiales. A esta capacidad se la llama reversibilidad.
• Alrededor de los 9/10 años: acceso al último paso en la noción de conservación: la conservación de superficies.

IV. Estadio de operaciones formales (propio de los 11 hasta los 15 años)

Su característica fundamental es el pensamiento lógico ilimitado. Las edades fijadas en cada etapa no son tan determinantes, ya que varían en cada persona, pero se puede afirmar que es necesario pasar por las operaciones concretas para llegar a las operaciones formales. Los cambios son paulatinos y no se dan en forma brusca, ya que un niño que entra en la etapa preoperacional continúa también con su desarrollo sensoriomotor.

Hemos abordado con mayor profundidad las características de los niños que por su edad cronológica pertenecen al nivel inicial.

Jean Piaget, en su teoría coherente de la evolución del conocimiento, explica que «el conocimiento pasaría de un estado a otro de equilibrio a través de un desequilibrio de transición», en el curso del cual las relaciones consideradas por el sujeto en el estadio anterior estarían en contradicción, ya sea por la consideración de relaciones nuevas o por la tentativa, también nueva, de coordinarlas. Esta fase de conflicto sería superada durante una fase de reorganización y de coordinación que llevaría a un nuevo estado de equilibrio.

Aplicar esta teoría al conocimiento matemático lleva a considerar que las situaciones-problema presentadas a los niños constituyen un factor importante para hacer evolucionar sus representaciones y sus procedimientos.

Es trascendental aclarar que la teoría de Jean Piaget es epistemológica y no pedagógica.

A lo largo del trabajo volveremos a considerar la postura piagetiana al analizar la importancia del desarrollo evolutivo de los niños en la enseñanza de los distintos contenidos específicos.

¿Qué dicen las teorías del aprendizaje?

Las teorías del aprendizaje nos hablan de cómo se debe enseñar o cómo se debe llevar adelante la enseñanza. En este tema es importante que tengamos en cuenta las investigaciones de Guy Brousseau (1987), quien ha desarrollado al respecto la teoría de situaciones didácticas.

La situación didáctica implica una interacción del estudiante con situaciones problemáticas, una interacción dialéctica, donde el sujeto anticipa, finaliza sus acciones y compromete sus conocimientos anteriores, los somete a revisión y los modifica, complementa o rechaza para formar concepciones nuevas.

El objeto principal de la didáctica es estudiar las condiciones que deben cumplir las situaciones planteadas al alumno para favorecer la aparición, el funcionamiento o el rechazo de esas concepciones.

En esta interacción dialéctica, la noción de obstáculo aparece como fundamental debido a que estos surgen en el proceso de aprendizaje por la confrontación de conocimientos que efectúa el niño; así, habrá de enfrentarlos y superarlos para lograr un conocimiento científico.

Al respecto, dice Bachelard: «No se trata de considerar los obstáculos externos como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del espíritu humano; es en el acto mismo de conocer íntimamente que aparecen por una suerte de necesidad funcional para conocer… Uno conoce contra un conocimiento anterior».

Hay obstáculos, mencionados por Brousseau (1987), que se presentan en el sistema didáctico, una de cuyas causas puede ser, por ejemplo, una concepción del aprendizaje, siendo difícil e incluso incorrecto incriminar a solo uno de los sistemas de interacción (alumno-alumnos, alumno-docente, alumnos-contenido, ambiente físico y social). En consecuencia, los orígenes de los obstáculos didácticos estarían en el sistema, cuya modificación los evitaría. Existen obstáculos didácticos de diverso origen:

• Ontogénicos: Sobrevienen del hecho de las limitaciones (neurofisiológicas, entre otras) del sujeto en un momento de su evolución: él desarrolla conocimientos apropiados a su medio y objetivos. Al respecto, la epistemología genética evidencia la existencia de dos instrumentos de aprendizaje: acomodación y asimilación.
• De enseñanza: Son los que surgen del modo en que se enseñan los conocimientos de acuerdo con un modelo educativo específico.
• Epistemológicos: Son dificultades intrínsecas de los conocimientos. Es posible encontrarlos en la historia de los conceptos mismos, lo cual no implica que se reproduzcan en la situación escolar las mismas condiciones históricas en que estos obstáculos se han superado.

El método utilizado por el matemático una vez que halla un conocimiento es el siguiente: reorganiza y ordena el contenido, le da forma más general y lo comunica, en forma descontextualizada, despersonalizada y atemporal.

El docente, según Guy Brousseau (1994), «realiza el trabajo inverso al del científico: una recontextualización y repersonalización del saber; busca situaciones que den sentido a los conocimientos para enseñar. Pero, si la fase de personalización ha funcionado bien, cuando el alumno ha respondido a las situaciones propuestas no sabe que ha producido un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas y sus conocimientos en saber, deberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable».

Se observan claramente dos partes bastante contradictorias del rol del maestro: hacer vivir el conocimiento, hacerlo producir por los alumnos como respuesta razonable a una situación familiar y además transformar esa «respuesta razonable» en un «hecho cognitivo extraordinario», identificado, reconocido desde el exterior.

Es grande la tentación de saltear fases y enseñar como objetos culturales, evitando ese doble movimiento, donde el alumno se apropia como puede del conocimiento.

Por lo tanto, es una responsabilidad del docente proponer una situación adecuada, mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de aprendizaje, con conocimientos anteriores que el alumno deberá acomodar y adecuar a las nuevas situaciones. «Cuanto más acomoda, más debe valer lo que cuestan» (Guy Brousseau).

Modificar el conocimiento como respuesta al medio y no como deseo del maestro es una necesidad que se convierte en una obligación de su tarea.

El Juego como Recurso Didáctico en la Matemática

Acordamos en mantener el bagaje cultural de la matemática como herramienta indispensable para el pensamiento creativo de la humanidad y proponemos un enfoque creativo para la presentación de la matemática en este nivel, porque es con nuevas estrategias y desde una postura lúdica (propia de la edad) que el niño puede ir descubriendo las relaciones que se pueden establecer en ella, entre los elementos que constituyen la matemática, y entre esta y otras áreas del conocimiento.

Además de lo dicho anteriormente, creemos en la estrategia del juego como un recurso del aprendizaje. El juego no solo desarrolla objetivos como respeto por las personas, responsabilidad de participar correctamente respetando turnos, tolerancia, confianza en el otro y en sí mismo y compañerismo, sino que también propende a buscar objetivos específicos que en la búsqueda de estrategias ganadoras contribuye a lograr un pensamiento creativo; al anticiparse al contrincante, se desarrollan habilidades de ampliación del pensamiento reflexivo.

En la resolución de juegos y problemas ingeniosos se estimula el gusto por el estudio de la matemática y también por el trabajo en equipo.

Es mediante el juego que el niño adquiere el valor formativo de la matemática; así lo expresa Chateau (1973): «Por el juego comienza el pensamiento propiamente humano. En el juego contemplamos, proyectamos, construimos. Esta fuente puede parecer en su origen muy poco abundante y muy pobre, pero es, sin embargo, por el juego que rezuma por doquier la humanidad y es por el juego que la humanidad se desarrolla».

En síntesis, creemos que el juego:

• Favorece la interacción social y la motivación para el pensamiento matemático.
• Colabora en la elaboración de habilidades de comprensión de los conceptos y términos matemáticos, detectando similitudes y diferencias.
• Proporciona la capacidad de seleccionar datos y procedimientos correctos al elegir una estrategia de juego.
• Favorece el desarrollo de la función simbólica, cuando incluye el proceso de construcción de representaciones.
• Favorece la independencia intelectual del niño, la integración de temas, el trabajo grupal, el respeto a reglas y la utilización de información.
• Contribuye a formar el espíritu constructivo, la imaginación y la facilidad para sintetizar.
• Desarrolla el pensamiento reflexivo y por lo tanto contribuye a su desarrollo.

Conocimientos Clave en Didáctica de la Matemática en Nivel Inicial

Los conocimientos que desarrollaremos en Didáctica de la matemática en el nivel inicial se abordarán a partir de propuestas de situaciones problemáticas pensadas para ser trabajadas con los alumnos y con orientaciones didácticas para el docente. Se trata de tres grandes temas:

• El espacio geométrico y sus propiedades.
• El número y sus transformaciones.
• Tamaño, medida y sus relaciones.

Todas ellas pensadas para las distintas edades de este nivel de enseñanza.