Definición — Números enteros (Z)

Definición: Un número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos, enteros negativos y cero.

Notación: Z = Z^– ∪ {0} ∪ Z⁺

Dado que los enteros contienen a los enteros positivos, se considera que los números naturales son un subconjunto de los enteros: N ⊂ Z.

Ejemplo del conjunto Z: Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Llamamos número entero a cualquier solución de la ecuación x + b = a, con a, b naturales.

Representación por clases de equivalencia

El número entero z correspondiente a la clase de equivalencia (a, b) se define de forma equivalente por:

• z = 0, si a = b. Por ejemplo: (0,0), (1,1), (3,3).
• z = +(a – b), si a > b; es decir, un número positivo. Por ejemplo: (1,0), (2,1), (3,2) corresponden a +1, +1, +1 respectivamente.
• z = -(b – a), si b > a; es decir, un entero negativo. Por ejemplo: (0,1), (1,2), (2,3) corresponden a -1, -1, -1 respectivamente.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales: |x|.

Adición de números enteros (por pares)

Si representamos +3 por el par (3,0) y -3 por (0,3), el resultado de la suma se calcula sumando las primeras componentes de los dos pares por un lado y las segundas por otro. Por ejemplo:

(0,3) + (0,2) = (0, 3+2) = (0,5), es decir, (-3) + (-2) = -5.

Propiedades de la adición (suma) de números enteros

Propiedad de clausura: La suma de dos números enteros es otro número entero. Sea Z₁ y Z₂ números enteros y a, b, c, d números naturales tales que Z₁ + b = a y Z₂ + d = c. Escribimos Z₁ como X₁ = (a, b) y Z₂ como X₂ = (c, d). La suma se define como (a+c, b+d), y como a+c y b+d son sumas de naturales, el resultado pertenece a Z. Ejemplo: -6 + 4 = -2. Representando (-6) como (0,6) y (+4) como (4,0): (0,6) + (4,0) = (0+4, 6+0) = (4,6) → corresponde a -2.

Propiedad asociativa: Sea Z₁, Z₂ y Z₃ números enteros y a, b, c, d, e, f naturales tales que Z₁ + b = a, Z₂ + d = c, Z₃ + f = e. Escribimos X₁ = (a,b), X₂ = (c,d), X₃ = (e,f). Entonces

[(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a+c, b+d) + (e,f) = (a+c+e, b+d+f) = (a,b) + (c+e, d+f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)].

Propiedad conmutativa: Sea Z₁ y Z₂ enteros y a, b, c, d naturales con Z₁ = (a,b), Z₂ = (c,d). Entonces

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c,d) + (a,b).

Existencia de elemento neutro: El elemento (0,0) es el neutro aditivo de los números enteros. Si X = (a,b) representa un entero, entonces (0,0) + (a,b) = (0+a, 0+b) = (a,b).

Existencia de elemento simétrico (opuesto): El simétrico de (a,b) es (b,a), porque (a,b) + (b,a) = (a+b, b+a) corresponde a la clase del (0,0). Al simétrico por la adición se le llama opuesto. Es claro que el opuesto de +a es −a y viceversa, y que (0,0) es el simétrico de sí mismo.

Propiedades de la adición en los números naturales

• Clausura: La suma de dos naturales es un natural.
• Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).
• Conmutativa: a + b = b + a.
• Elemento neutro: el natural 0; a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ N.

Verdadero o Falso — Números naturales y enteros

• Todo número natural es entero. V
• Algunos números racionales son enteros. V
• Todo número entero es positivo. F
• Los números naturales se usan para designar la numerocidad de un conjunto. V
• Los números enteros son discretos. V

Valor absoluto — Verdadero o Falso

• a) De dos enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. V. Si −z₁ y −z₂ cumplen que −z₂ > −z₁, al quitar el signo la desigualdad cambia: z₂ < z₁.
• b) De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. V.

Problemas

Valor absoluto

• Entre un número positivo y su opuesto hay 25 números. ¿Cuál es el número positivo? Indicaciones: aparece una referencia a expresiones tipo nº + 1/2 o número negativo −nº − 1/2 (sugerencia: plantear la distancia entre n y −n y resolver).
• ¿Cuántos números hay entre un número positivo y otro negativo? Respuesta (indicativa): sumar sus valores absolutos − 1.
• Escribe un número como suma de 2 números consecutivos: nº − 1/2 y su consecutivo (hints).
• 3 números consecutivos: nº − 1, nº, nº + 1 (apunte original indicaba nº − 3/3, corregido a la forma estándar).
• Problema de termómetro: subir = bajar −, bajar = subir + (anotación de relación de cambios de temperatura).

Divisibilidad

• Hallar dos números naturales tales que su suma sea __ y su MCD __. Procedimiento sugerido: buscar los divisores del MCD con una tabla y encontrar dos que al sumarse den lo pedido.
• Hallar dos números naturales tales que su suma sea __ y su MCM __. Procedimiento sugerido: buscar los múltiplos del MCM (su tabla de multiplicar) y buscar dos números que al sumarse den lo pedido.
• Hallar el menor número de 4 cifras que, dividido por n1, n2 y n3, deja resto 3. Idea: sea x el número de cuatro cifras; multiplicar los tres números dados n1·n2·n3 = M y resolver x − 3 = k·M y comprobar con los tres divisores.
• Numero perfecto: ejemplos 28, 496.
• Numero abundante: multiplicar los factores que te den y sacar sus divisores (apunte de procedimiento).

Inducción y sumatorios

• Sumatorio de los primeros n naturales: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 (el documento lo expresa como (n + 1)·(n/2)).
• Apretones (problema de las manos que se estrechan): para saber el número total de apretones y, a partir de él, conocer cuántas personas había:
  • Fórmula: y = x(x − 1)/2, donde x es el número de personas y y el número de apretones.
  • Para despejar x a partir de y: resolver la cuadrática x(x − 1)/2 = y. La solución positiva es x = (1 + √(1 + 8y))/2.

Ejercicios y problemas varios

• Iván el perezoso

Planteamiento en el documento (resuelto a continuación):

2 · (2 · (2x − 8) − 8) = 8

Resolución paso a paso:

2 · (2 · (2x − 8) − 8) = 8

2 · (4x − 16 − 8) = 8

2 · (4x − 24) = 8

8x − 48 = 8

8x = 8 + 48 = 56

x = 56 / 8 = 7

Resultado: x = 7.

Observación final: He corregido ortografía, acentos, puntuación y la presentación para mayor claridad, manteniendo todo el contenido original y su secuencia. Donde fue necesario para comprensión y exactitud matemática, se ajustaron notaciones y fórmulas (por ejemplo, la fórmula del sumatorio y la resolución de la ecuación cuadrática asociada al problema de los apretones).