Conceptos Fundamentales de Frecuencias

Frecuencia Absoluta (frec. abs)

Número de casos de la variable X, o frecuencia relativa por sujetos que responden.

Frecuencia Absoluta Acumulada (frec. abs. acum)

Frecuencia absoluta 1 + Frecuencia absoluta 2.

Frecuencia Relativa (frec. relat)

Frecuencia absoluta / Sujetos que responden.

Frecuencia Relativa Acumulada (frec. relat. acum)

Frecuencia relativa 1 + Frecuencia relativa 2, o Frecuencia absoluta acumulada / Sujetos que responden.

Medidas Descriptivas de Distribución

Tendencia Central, Variabilidad y Forma

• Promedio: Indica la tendencia central de los valores de la variable.
• Variabilidad: Grado de concentración (dispersión) de los datos alrededor del promedio.
• Forma: Aspecto de la distribución, determinado por la asimetría (sesgo) y la curtosis (apuntamiento).

Asimetría y Curtosis

• A mayor variabilidad, la distribución es más platicúrtica.
• Índice de Asimetría: Asimetría / Error estándar de la asimetría.
• Interpretación del Índice de Asimetría:
  • > 1,96: Asimetría positiva (lepto).
  • < -1,96: Asimetría negativa (plati).
  • Entre -1,95 y 1,95: Distribución simétrica y mesocúrtica.
• Índice de Curtosis: Curtosis / Error estándar de la curtosis.

Índices Basados en Momentos

Se centran en la tendencia central y son sensibles a la asimetría y a los valores atípicos.

Media (Promedio)

• Presenta baja resistencia a valores atípicos.
• Es adecuada para distribuciones simétricas, ya que representa el centro físico de gravedad.
• Solución a valores atípicos: Media recortada (elimina casos atípicos) o media windsorizada (sustituye el valor atípico por el más cercano).

Puntuaciones Diferenciales y Transformaciones

• Puntuación diferencial: Distancia de una puntuación respecto a la media: $x_i = X_i – \bar{x}$. El sumatorio es 0. Para sumarlas, deben elevarse al cuadrado.
• Suma de la constante: La nueva media es la media sumada a esa constante: $Y = \bar{x} + k$.
• Producto de la constante: La nueva media es la media multiplicada por la constante: $Y = \bar{x} \cdot k$.
• Combinación lineal: La media resulta de la suma y el producto: $Y = a + \bar{x} \cdot b$.

Índices de Dispersión

• Varianza ($S^2$): Mide la dispersión o variabilidad de la distribución. Grado en que los datos se separan de la media.
• Valores de la Varianza: $\ge 0$. Es cero cuando todas las observaciones son iguales (constante). Es la Desviación Típica al cuadrado.
• Desviación Típica ($S$): Raíz cuadrada de la varianza. Es preferible a la varianza para interpretación (1 DT representa al 68% de la población, 2 DT al 95% y 3 DT al 99,7%).
• Coeficiente de Variación (CV): Mide la dispersión o variabilidad relativa: $CV = (S / \bar{x}) \cdot 100$.
• Usos del CV:
  • Comparar la variabilidad de dos grupos en una misma variable con medias muy diferentes.
  • Comparar variables medidas en distintas unidades.
  • Determinar qué variable tiene mayor variabilidad.
• Interpretación del CV: Menos de 50% (adecuado), de 50% a 99% (moderado), más de 100% (mucha heterogeneidad).

Índices Basados en Ordenación (Cuantiles)

Son resistentes a la asimetría y a los casos atípicos (a diferencia de los basados en momentos) y se construyen en base a la ordenación de los valores de la variable.

Cuantiles, Percentiles y Mediana

• Cuantiles: Tipos: percentiles o centiles y cuartiles.
• Percentiles: Dividen las observaciones ordenadas en 100 grupos iguales. Por debajo del percentil k se encuentra el k% de los casos.
• Percentil de orden k: Valor de la variable que deja por debajo el k% de los casos. Posición: $j = k(n+1)/100$.
• Mediana ($P_{50}$): Número central cuando los datos están ordenados. Deja por debajo al 50% de los casos. Coincide con la media si la distribución es simétrica. Es ideal para distribuciones asimétricas.
• Cuartiles: $Q_1 = P_{25}$, $Q_2 = P_{50}$ (Mediana), $Q_3 = P_{75}$.

Medidas de Dispersión Cuartílicas

• Amplitud Intercuartil (IQR): Dispersión igual al 50% de los valores centrales. $IQR = Q_3 – Q_1 = P_{75} – P_{25}$.
• Detección de Atípicos: Un valor que se desvía 1.5 veces el IQR respecto a $Q_3$ es atípico; si se desvía 3 veces, es un caso extremo.
• Desviación Cuartil (DC): La mitad de la amplitud intercuartil. $DC = (Q_3 – Q_1) / 2$.
• Coeficiente de Variación Cuartil (CVC): $CVC = (Q_3 – Q_1) / (Q_3 + Q_1)$.
• Diagrama de Caja y Bigotes: Representación gráfica basada en los cuartiles.

Otras Medidas de Tendencia Central Resistentes

• Media Recortada: Elimina los valores extremos antes de calcular la media.
• Trimedia: Basada en los cuartiles: $T = (Q_1 + 2Q_2 + Q_3) / 4$.
• Moda: Valor más frecuente.
• Casos de Moda:
  • Si hay 2 valores juntos que más se repiten, se calcula la media de ellos. Si no, es una distribución bimodal.
  • Si hay 3 modas (dos valores juntos y uno separado), la moda es el número entero y otra de 0,5.
  • Si no hay modas, es amodal. Si todos los valores son iguales, esa es la moda.
• Amplitud: Valor máximo – Valor mínimo ($B – A$).

Consideraciones por Tipo de Variable

• Variable ordinal: Se calcula igual que las cuantitativas.
• Variable nominal: No se calculan valores acumulados.

Relación entre Variables

Relación entre Variables Cuantitativas (Correlación Bivariada)

Índices de Asociación

• Covarianza: Sumatorio del producto de las puntuaciones diferenciales de cada variable: $(\bar{p}_x – m_x) \cdot (\bar{p}_y – m_y) + (\bar{p}_x – m_x) \cdot (\bar{p}_y – m_y) / n$.
• Valores de la Covarianza: Entre $\pm \infty$.
• Interpretación de la Covarianza: > 0 (relación positiva), 0 (sin relación), < 0 (relación negativa).

Coeficiente de Correlación de Pearson ($r$)

• Covarianza entre el producto de las Desviaciones Típicas (DTs) de $X$ e $Y$.
• Valores: Entre $\pm 1$. > 0 (positiva), 0 (sin relación), < 0 (negativa).
• Es un valor acotado y estandarizado, lo que permite comparar correlaciones obtenidas entre diferentes variables.
• Matriz de Varianza-Covarianza: Ejemplo: Covarianza de $S_{yz}=14$. Varianza de $S_y=20$. Luego $\sqrt{}$.
• Consideraciones: Pearson es paramétrico. Spearman es no paramétrico (para distribuciones no normales o variables ordinales).
• Significatividad: Cuando $p < 0,05$.
• Cálculo a través de matriz de varianza: Ej. $10 / (\sqrt{15} \cdot \sqrt{12}) = 0,747$.

Coeficiente de Determinación ($r^2$)

• Se utiliza para interpretar la intensidad de la relación.
• Se calcula elevando al cuadrado la correlación de Pearson.
• Interpretación: Proporción de varianza compartida por ambas variables y proporción de $Y$ (VD) explicada por $X$ (VI).
• Valores: $0 – 1$. 0: $X$ explica un 0% de $Y$. 1: $X$ explica el 100% de $Y$.

Relación entre Variable Cuantitativa y Categórica

Se realiza mediante la comparación de valores de tendencia central (ej. media) de la variable cuantitativa en los grupos que forma la variable categórica.

• Diagrama de caja múltiple: Para comparar la distribución de la variable cuantitativa en diferentes grupos.
• Diagrama de medias: Para comparar la media de la variable cuantitativa en diferentes grupos.

Relación entre Dos Variables Categóricas

Tablas de Contingencia y Ji-Cuadrado

• Tablas de Contingencia: Tablas de doble entrada que incluyen en las casillas las frecuencias absolutas y/o porcentajes relativos de la combinación de ambas variables.
• Ji-Cuadrado de Pearson ($\chi^2$): Cuantifica la asociación entre dos variables categóricas (dice si están relacionadas).
• Valores de $\chi^2$: De 0 (no hay asociación, $o_{ij} = e_{ij}$) a $\infty$. A mayor valor, mayor asociación (dependencia).
• Limitaciones: No tiene valor máximo y depende del tamaño muestral. No informa sobre la intensidad de la asociación (no estandarizada).
• Fórmula: $\chi^2 = \sum (o_{ij} – e_{ij})^2 / e_{ij}$.
• Cálculo de la Frecuencia Esperada ($e_{ij}$): (Total respuestas F $\cdot$ Total hombres) / Total de población.

Medidas de Intensidad de Asociación

• Phi de Pearson ($\phi$): Cuantifica la intensidad de asociación entre dos variables categóricas con dos categorías cada una (dicotómicas $2 \times 2$).
• Valores de $\phi$: Entre 0 (ausencia de relación) y 1 (asociación perfecta). Tiene valor máximo (estandarizado). No produce resultados negativos, ya que Ji-cuadrado está elevado al cuadrado.
• V de Cramer: Cuantifica la intensidad de asociación entre dos variables categóricas con más de dos categorías.
• Valores de V: Entre 0 (ausencia de relación) y 1 (asociación perfecta). Permite ver la intensidad de la relación. $k$ es el número de categorías de la variable con menos opciones.

Probabilidad

Experimentos Aleatorios y Sucesos

• Experimentos Aleatorios: Se obtiene una observación bien delimitada. Debe poder reproducirse con las mismas condiciones. En cada ensayo se obtiene un resultado.
• Espacio Muestral ($E$): Conjunto de resultados posibles en un experimento aleatorio. Ej. Dado: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Suceso: Posibles resultados de un experimento aleatorio. Ej. $A = \text{Obtener un número par} = \{2, 4, 6\}$.
• Tipos de Sucesos:
  • Imposible: Ej. $A = \text{Obtener un 7 al lanzar un dado de seis caras} = \{\emptyset\}$.
  • Unitario o elemental: Un solo elemento del espacio muestral. Ej. $A = \text{Obtener un 3} = \{3\}$.
  • Seguro: Contempla todo el espacio muestral. Ej. $A = \text{Obtener entre 1 y 6} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Operaciones con Sucesos

• Complementario ($n A$ o $A^c$): Se verifica si el suceso $A$ no se ha verificado. Ej. Si $A = \text{número par}$, $n A = \text{número impar} = \{1, 3, 5\}$.
• Unión ($A \cup B$): Se verifica si se realiza cualquiera de los dos sucesos. Ej. $A = \text{número par}$, $B = \text{número inferior a 3}$. $A \cup B = \{1, 2, 4, 6\}$.
• Intersección ($A \cap B$): Pertenece a ambos sucesos (se deben cumplir los dos sucesos). Ej. $A = \text{número par}$, $B = \text{número inferior a 3}$. $A \cap B = \{2\}$.
• Incompatible: La intersección de dos sucesos es $\emptyset$. Sucesos elementales mutuamente excluyentes. Ej. $A = \text{número impar}$, $B = \text{número superior a 5}$. $A \cap B = \{\emptyset\}$.

Axiomática y Teoremas de Probabilidad

La probabilidad es un número que cuantifica la posibilidad de verificación de un suceso (0 nunca – 1 siempre).

• Probabilidad de un suceso: Está entre 0 (imposible) y 1 (seguro).
• Probabilidad de la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Probabilidad de un suceso complementario: $P(n A) = 1 – P(A)$.
• Ley de Probabilidad Total o Teorema de la Suma: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$.
• Ley Multiplicativa: Ocurrencia simultánea de dos sucesos independientes. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Variables y Distribuciones

Variable Discreta

Toma valores enteros (ej. número de accidentes de tráfico), nunca con decimales. Ej. Número de sujeto y año de nacimiento (1998, no 1998,9).

• Función de Probabilidad: Asocia cada valor de la variable a su probabilidad de ocurrencia (frecuencia relativa). Ej. Espacio muestral de un dado = 6. La función de probabilidad es $1/6$. La suma de todos los resultados es 1 (100%). En gráfica, se representa con líneas rectas.
• Función de Distribución: Asocia a cada valor de la variable la probabilidad de ocurrencia de valores iguales o inferiores (frecuencia relativa acumulada). Ej. Probabilidad de 3, sumar la de 2 y la de 1. En gráfica, se representa como una escalera.

Distribución Binomial Discreta

• Cálculo de probabilidades acumuladas: Ej. En una población existe un 30% de personas con un trastorno. Si extraemos aleatoriamente 15 individuos, calcular la probabilidad de que en la muestra haya menos de 8 (es decir, 7 o menos de 7) con el trastorno $\rightarrow B(X; 15, 0,3)$.
• Uso de la Tabla Binomial: Si $n=7$ y $\pi=0,3$, $P=0,950$. La probabilidad de obtener 8 o más es $1 – 0,985 = 0,015$.

Distribución Normal

La mayor parte de los valores se encuentran alrededor de la media ($\mu$). Son simétricos respecto a la media. La media, mediana y moda coinciden. Se fundamenta en el Teorema Central del Límite.

Muestreo e Inferencia Estadística

Población, Muestra y Estadísticos

• Población: Conjunto de elementos que comparten al menos una característica a los que se pretende generalizar los resultados de un estudio.
• Tipos de Población: Finitas (limitadas, ej. personas con síndrome de piel de cristal) o Infinitas (ilimitadas, ej. mujeres del mundo). Si son muy grandes, se trabaja con muestras.
• Muestra: Subconjunto de elementos extraídos de la población. Deben ser representativas (al azar) y son finitas.

Parámetros vs. Estadísticos

Parámetros (Población)

Valor numérico que describe una característica de la población (media, DT, proporción). Son constantes (siempre el mismo valor) y desconocidos (se estiman). Se representan con letras griegas ($\mu, \sigma$).

Estadísticos (Muestra)

Valor numérico que describe una característica de la muestra ($\bar{X}, S_x, P$). Son aleatorios (dependen de la muestra) y conocidos (calculados con valores de la muestra). Se representan con letras romanas.

Tipos de Muestreo

Muestreo Probabilístico

Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad conocida de formar parte de la muestra. Es el más representativo.

• Aleatorio Simple (MAS): Muestra seleccionada en una sola etapa, con o sin reposición.
• Aleatorio Sistemático: Se elabora una lista de elementos, se asigna un número a cada uno, se decide el tamaño de la muestra ($n$) y se escogen aleatoriamente los $k = N/n$ números.
• Aleatorio Estratificado: La población se divide en estratos (subconjuntos homogéneos en una característica) y se extrae un MAS de cada estrato. Mejora la precisión y garantiza la representatividad de los estratos.
• Aleatorio por Conglomerados: La población se divide en conglomerados (subconjuntos heterogéneos internamente) y se extrae un MAS de cada uno. Mantiene la precisión del MAS, es menos costoso y garantiza la representatividad de los conglomerados.

Muestreo No Probabilístico

Los elementos de la población no tienen la misma probabilidad de formar la muestra.

• Por Cuotas: Se busca obtener una muestra similar a la población, fijando el número de sujetos por cuotas según criterios (edad, sexo, nivel educativo). Se deben conocer los porcentajes de cada característica poblacional.
• Intencional: Se seleccionan sujetos típicos de la población. Ej. Sondeos electorales.
• Incidental: Se seleccionan los sujetos más accesibles. Ej. Alumnos.
• Bola de Nieve: Casos iniciales en un estudio sirven para seleccionar a otros casos. Útil en muestras de difícil acceso.

Error Muestral y Propiedades Deseables

• Tamaño Muestral: Una muestra de $N=30$ es suficiente, pero no necesariamente representativa.
• Error Estándar (EE) o Muestral: Dispersión de los datos a partir de diferentes muestras de la misma población. Es la variabilidad de la distribución muestral del estadístico. A menor EE, mayor precisión. A mayor tamaño muestral ($N$), menor EE.
• El promedio de la distribución muestral de un estadístico coincide con el parámetro de la población de origen.
• Varianza: Si las variables se distribuyen normalmente con parámetros $\mu$ y $\sigma$, la Distribución Muestral (DM) de la media será también normal, dividiendo la varianza de la población entre la muestra. A mayor $n$, mayor precisión y menor error muestral. A menor varianza, mayor eficiencia.

Propiedades de un Estadístico Deseable

• Insesgado: Al extraer un gran número de muestras, el promedio de todas coincide con el parámetro. Estadísticos insesgados: media, varianza insesgada (división entre $n-1$) y proporción. (Sesgados: varianza sesgada y correlación).
• Eficiente: Al extraer un gran número de muestras, la varianza de todas es pequeña. (La varianza sesgada es más eficiente que la varianza insesgada y que la mediana).
• Consistente: Aumenta el tamaño de la muestra ($n$) y el valor del estadístico coincide con el parámetro. Todos lo son cuando $n \rightarrow \infty$.
• Suficiente: El estadístico emplea toda la información de la muestra para calcular el parámetro. Estadísticos suficientes: media, varianza, correlación, proporción. (Insuficientes: mediana, percentiles, moda).

Estimación y Contraste de Hipótesis

Estimación de Parámetros

Estimación Puntual

Estimamos un parámetro a partir de un único valor muestral. Se extrae una muestra aleatoria de la población y se calcula el estadístico, asumiendo que representa al parámetro. Se deben emplear estimadores con propiedades deseables (insesgados, eficientes, consistentes y suficientes).

Estimación por Intervalos

Estimamos un parámetro a partir de un conjunto de valores muestrales (intervalo), sumándole y restándole un Error Máximo ($E$): (Estadístico $\pm EM$). Se busca si el parámetro pertenece a ese intervalo. Es más eficiente que la puntual.

• Intervalo de Confianza (IC): Zona más probable para encontrar el parámetro.
• Error Estándar o Máximo (EM): Determina la amplitud del IC.
• Nivel de Confianza ($1 – \alpha$): Probabilidad de que el IC contenga el parámetro.
• Nivel de Riesgo ($\alpha$): Probabilidad de que el IC no contenga el parámetro. Si $\alpha = 0,05$, la probabilidad de encontrar el parámetro dentro del IC es del 95%; si $\alpha = 0,01$, es del 99%.
• A mayor nivel de confianza, menor precisión. A mayor tamaño muestral, mayor precisión.

Cálculo del Intervalo de Confianza (IC)

1. IC de la media sabiendo la varianza poblacional (Tabla Z):
   1. Se calcula el Error Estándar ($EE$) dividiendo la DT entre la raíz cuadrada de $n$.
   2. Al valor de la media se le suma ($L_s$) y se le resta ($L_i$) el valor de $Z$ multiplicado por el $EE$.
2. IC de la media no sabiendo la varianza (Tabla T): La media se distribuye según la $t$ de Student, que depende de los grados de libertad ($n-1$). La $t$ de Student se aproxima a la normal al aumentar el número de sujetos; para $n \ge 30$ es similar a la normal.
3. IC de la proporción no sabiendo la varianza (Tabla Z): Se calcula el IC asociado a la proporción de aciertos muestral. La proporción se calcula dividiendo el número de aciertos entre el número de ensayos.

Contraste de Hipótesis (H)

Hacen referencia a valores poblacionales que se quieren someter a prueba o contraste.

• Hipótesis Científica (HC): Base estadística que se refiere a la realidad.
• Hipótesis Estadística: Se refiere a valores poblacionales que se quieren someter a prueba. Se basa en la HC y se refiere a una distribución de probabilidad.

Hipótesis Nula y Alternativa

• $H_0$ (Hipótesis Nula): Se somete a contraste. Es exacta. Representa que no se producen cambios ($R_{pre} = R_{post}$, o $\ge$, o $\le$).
• $H_1$ (Hipótesis Alternativa): Negación de la nula. Es inexacta. Representa que hay cambios ($R_{pre} < R_{post}$, o $>$, o $\ne$).
• $H_0$ y $H_1$ son mutuamente excluyentes y exhaustivas. $H_1$ puede ser unilateral o bilateral.

Tipos de Contrastes

• Bilateral: No se sabe el valor que tomará el valor teórico, solo que será diferente al valor poblacional.
• Unilateral Derecho: Se asume que el valor teórico será superior al valor poblacional.
• Unilateral Izquierdo: Se asume que el valor teórico será inferior al valor poblacional.

Procedimientos de Contraste

1. Contraste mediante Intervalo de Confianza (IC)

Se busca el valor poblacional (parámetro) dentro del conjunto de valores calculados a partir de un valor muestral.

1. Se plantean $H_0$ y $H_1$ y se calcula el IC a partir del valor muestral (sumando y restando el error estándar).
2. Se busca el valor poblacional dentro del IC y se decide:

• Si el IC incluye el valor poblacional: Se mantiene la $H_0$, con una probabilidad igual al nivel de confianza ($1 – \alpha$). El contraste no es significativo; el valor teórico y el poblacional son iguales.
• Si el IC no incluye el valor de la $H_0$: Se rechaza $H_0$ y se afirma la alternativa ($H_1$). El contraste es significativo.

Un IC se puede considerar como el conjunto de hipótesis aceptables:

• A mayor IC, más probable es mantener la $H_0$.
• A mayor tamaño muestral ($N$), más estrecho será el IC y mayor será la probabilidad de rechazar la $H_0$.
• Las diferencias significativas no implican relación causal, sino que las diferencias no son causadas por el azar del proceso muestral.

2. Pruebas de Significación

Se comprueba si, a cierta probabilidad, el parámetro equivale o no al muestral.

1. Se plantean $H_0$ y $H_1$ y se establece la distribución muestral del estadístico de contraste.
2. Se calcula la zona de aceptación y rechazo (zona crítica).
3. Decisión:
   • Si el estadístico de contraste cae en la zona de aceptación, se mantiene la $H_0$.
   • Si el estadístico de contraste cae en la zona de rechazo, se rechaza la $H_0$.

Estadísticos de Contraste

• Media conocida la varianza poblacional (Z): $Z = (\bar{x} – \mu) / (\sigma / \sqrt{n})$. Para calcular la zona crítica, se divide $\alpha$ entre dos, se busca el valor en la tabla y se cambia el signo al lado opuesto. Ejemplos: $\alpha=0,05 \rightarrow \pm 1,96$; $\alpha=0,01 \rightarrow \pm 2,58$.
• Media desconocida la varianza poblacional (T): $T = (\bar{x} – \mu) / (S_n / \sqrt{n})$.
• Proporción desconocida la varianza poblacional (Z): $Z = (P – \pi) / (\sqrt{P(1-P) / n})$.

Errores en el Contraste de Hipótesis

• Error Tipo I ($\alpha$): Rechazar la $H_0$ cuando es verdadera.
• Error Tipo II ($\beta$): Mantener la $H_0$ cuando es falsa.

Factores que Afectan a los Errores

• Valor de $\alpha$: Cuanto mayor sea $\alpha$, menor será $\beta$.
• Valor de $H_1$: Cuanto más próximas estén $H_1$ y $H_0$, mayor será $\beta$.
• Error Típico de la Distribución Muestral: Cuanto mayor sea el error típico (más dispersión), mayor será $\beta$.
• Tamaño Muestral ($N$): A más $N$, menor error típico, es decir, menor $\beta$.

Potencia del Estudio

Probabilidad de rechazar una $H_0$ falsa cuando es falsa. (Aceptar $H_0$ cuando es verdadera es el nivel de confianza $1 – \alpha$).