Introducción a la Semejanza de Matrices y Diagonalización

Dos matrices $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ son semejantes si existe una matriz $\mathbf{P}$, invertible, tal que $\mathbf{A}\cdot\mathbf{P}=\mathbf{P}\cdot\mathbf{B}$, o lo que es lo mismo, $\mathbf{A}=\mathbf{P}\cdot\mathbf{B}\cdot\mathbf{P}^{-1}$.

Recordemos que la inversa de una matriz $\mathbf{A}$ se calcula como: $\mathbf{A}^{-1}=\frac{\text{adj}(\mathbf{A})}{\det(\mathbf{A})}$.

Diagonalización de Matrices

Sea $f:V \to V$ una transformación lineal con matriz asociada $\mathbf{A}$. Decimos que $\mathbf{A}$ es diagonalizable si existe una matriz diagonal $\mathbf{D}$ semejante a ella. Es decir, si existe $\mathbf{D}$ diagonal y $\mathbf{P}$ invertible tal que $\mathbf{A} = \mathbf{P}\cdot\mathbf{D}\cdot\mathbf{P}^{-1}$.

• En el caso de que la matriz sea diagonalizable, la matriz $\mathbf{D}$ estará formada por los autovalores en la diagonal.
• La matriz $\mathbf{P}$ estará formada por los correspondientes autovectores.

Procesos Secuenciales Lineales y Potencias de Matrices

Los procesos secuenciales lineales, estudiados a menudo en economía como procesos dinámicos (estado de cosas que cambia a lo largo del tiempo), pueden expresarse matricialmente. Comprender sus transformaciones se facilita mediante el cálculo de potencias de matrices.

Formas Cuadráticas

Definición de Forma Cuadrática

Una forma cuadrática ($\mathbf{Q}$) es una aplicación de $n$ variables, $Q: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, que hace corresponder a cada vector $\mathbf{x}=(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n)$ un número real dado por:

$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^t \times \mathbf{A} \times \mathbf{x}$$

(Siendo $\mathbf{A}$ una matriz simétrica de orden $n$).

Expresión Polinómica de una Forma Cuadrática

La expresión polinómica de una forma cuadrática real $\mathbf{Q}(\mathbf{x})$ es:

$$Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \dots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \dots$$

Expresión Diagonal de una Forma Cuadrática

Si la matriz asociada a $Q(\mathbf{x})$ es diagonal, entonces la expresión polinómica de $Q(\mathbf{x})$ es una expresión diagonal que solo tiene términos cuadráticos.

Toda matriz $\mathbf{A}$ asociada a una forma cuadrática real es simétrica y, por tanto, diagonalizable.

Para toda forma cuadrática $Q: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, con $\mathbf{A}$ como matriz asociada, y $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ como autovalores de $\mathbf{A}$, existe la expresión diagonal dada por:

$$Q(\mathbf{x}) = \alpha_1 x_1^2 + \alpha_2 x_2^2 + \dots + \alpha_n x_n^2$$

Este es el método para calcular expresiones diagonales de formas cuadráticas.

Ley de Inercia de Sylvester

Todas las matrices diagonales que representan a una misma forma cuadrática tienen en la diagonal principal el mismo número de términos positivos, negativos y nulos.

Clasificación de las Formas Cuadráticas

Clasificación por la Expresión Diagonal

1. Definidas positivas: si $Q(\mathbf{x}) > 0$ para todo $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$.
2. Definidas negativas: si $Q(\mathbf{x}) < 0$ para todo $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$.
3. Semidefinidas positivas: si $Q(\mathbf{x}) \geq 0$ para todo $\mathbf{x}$, y existe $\mathbf{x}_0 \neq \mathbf{0}$ tal que $Q(\mathbf{x}_0) = 0$.
4. Semidefinidas negativas: si $Q(\mathbf{x}) \leq 0$ para todo $\mathbf{x}$, y existe $\mathbf{x}_0 \neq \mathbf{0}$ tal que $Q(\mathbf{x}_0) = 0$.
5. Indefinidas: si asigna algunos vectores valores positivos y a otros valores negativos.

Clasificación por el Método de Autovalores

• Definidas positivas: todos los autovalores son estrictamente positivos.
• Definidas negativas: todos los autovalores son estrictamente negativos.
• Semidefinidas positivas: todos los autovalores son positivos o nulos, y hay al menos uno nulo.
• Semidefinidas negativas: todos los autovalores son negativos o nulos, y hay al menos uno nulo.
• Indefinidas: cuando algunos autovalores son positivos y otros son negativos.

Conceptos de Límite y Continuidad

Límite de una Función

Sea $f(x)$ una función definida para todos los valores de $x$ cercanos a un valor $c$, con la posible excepción de $c$ mismo. Se dice que $L$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $c$, si la diferencia entre $f(x)$ y $L$ puede hacerse tan pequeña como se desee con solo restringir a $x$ a estar lo suficientemente cerca de $c$.

Continuidad de una Función

Se dice que una función $f(x)$ es continua en el punto $x=c$ si se cumplen 3 condiciones:

1. $f(x)$ está definida en $x=c$. Esto es, $f(c)$ está bien definida ($c$ es un valor incluido en el dominio de $f(x)$).
2. $\lim_{x \to c} f(x)$ existe (es un valor concreto, no infinito ni indeterminación).
3. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Si no se cumple cualquiera de estas condiciones, se dice que la función es discontinua en $x=c$.

Límites Laterales

• Límite por la derecha: Es el límite de la función cuando $x$ tiende a $c$ por valores mayores que $c$ (límite cuando $x$ tiende a $c$ positivo).
• Límite por la izquierda: Es el límite de la función cuando $x$ tiende a $c$ por valores menores que $c$ (límite cuando $x$ tiende a $c$ negativo).

Discontinuidad de Salto

Se dice que una función $f(x)$ presenta una discontinuidad de salto si los dos límites laterales de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $c$ (por la derecha y por la izquierda) son diferentes.

Derivada según el Concepto de Límite

Sea $y=f(x)$ una función dada. La derivada de $y$ con respecto a $x$, denotada $\frac{dy}{dx}$, se define por:

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

(Con tal de que este límite exista).

Relación entre Continuidad y Derivabilidad

Si una función es derivable en $x=a$, entonces es continua en $x=a$. Esto no implica que una función continua en $x=a$ sea derivable en $x=a$. Sin embargo, sí significa que, si una función no es continua en $x=a$, entonces no es derivable en $x=a$.

Dominio de Funciones de Varias Variables

Dominio de una Función de Dos Variables

El dominio de una función de dos variables se define como el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^2$ donde esta función está definida.

La interpretación geométrica de la derivada se visualiza con un punto concreto, donde se define una recta tangente (no una vertical).