Conceptos Fundamentales de Muestreo Estadístico y Distribución Uniforme
Repaso de Conceptos Clave en Estadística Aplicada
I. Tipos de Muestreo Probabilístico
A continuación, se revisan las características y aplicaciones de los principales métodos de muestreo probabilístico.
Muestreo Aleatorio Simple (MAS)
- Característica principal: Cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.
- Afirmación correcta: Cada unidad de la población tiene la misma probabilidad conocida de ser seleccionada.
Muestreo Sistemático
- Aplicación más apropiada: Cuando se dispone de un listado ordenado y es fácil seleccionar cada $k$-ésimo elemento.
- Advertencia: Corre riesgo de sesgo si el orden del listado está correlacionado con la variable de interés.
Muestreo Estratificado vs. Muestreo por Conglomerados
Estos dos métodos a menudo se confunden, pero sus estructuras de selección son distintas:
- Muestreo Estratificado:
- La población se divide en grupos (estratos) internamente homogéneos respecto a la variable de estudio.
- Se toma una muestra aleatoria dentro de cada estrato.
- Ejemplo: Un investigador separa a los agricultores en pequeños, medianos y grandes (estratos basados en tamaño) y toma una muestra aleatoria de cada grupo. (Se divide en clases socioeconómicas, facultades, etc.).
- Característica distintiva: La población se divide en estratos relativamente homogéneos y se toma muestra aleatoria dentro de cada estrato.
- Muestreo por Conglomerados:
- La población se divide en grupos (conglomerados), usualmente basados en proximidad geográfica o administrativa.
- Se seleccionan aleatoriamente algunos conglomerados completos, y se incluyen todas las unidades dentro de los conglomerados seleccionados.
- Utilidad: Es especialmente útil cuando la población está muy dispersa geográficamente y es costoso acceder a cada unidad individual, siendo más fácil seleccionar grupos (como localidades o escuelas) que individuos aislados.
- Ejemplo: Una región se divide en 40 escuelas agrícolas. El investigador selecciona al azar 8 escuelas y encuesta a todos los estudiantes dentro de cada escuela seleccionada. $\rightarrow$ Muestreo por conglomerados.
II. Aplicación del Muestreo Estratificado
Ejemplo: Muestreo Estratificado
Suponemos que se está haciendo un estudio sobre el consumo de alimentos orgánicos en una ciudad de 100.000 habitantes. La variable edad se considera adecuada para obtener resultados en esta investigación. Se incluyen solamente los mayores de 40 años en el estudio. Se distribuyen en tres grupos o estratos, resultando una agrupación, según el censo:
- Elección simple (o uniforme): Una muestra de 750 individuos dividida en tres estratos, cada uno de ellos tendría $750/3 = 250$.
-
Elección proporcional al tamaño del estrato: Para asignar el número de componentes a los tres estratos de edad, aplicaremos la fórmula anterior:
III. Distribución Uniforme Continua
Sea $X$ la temperatura del aire al mediodía en el invernadero, con $X \sim U[18, 22]$. La función de densidad de una uniforme continua en $[a, b]$ es $f(x) = \frac{1}{b-a}$ para $a \le x \le b$. Con $a = 18$ y $b = 22$, la densidad es $f(x) = \frac{1}{22-18} = \frac{1}{4} = 0.25$ en $[18, 22]$.
Cálculos de Probabilidad:
- $P(X = 20,0)$
Para variables continuas, $P(X = c) = 0$ para cualquier constante $c$. Por tanto, $P(X = 20,0) = 0$.
- $P(18,5 \le X \le 20,0)$
En una uniforme, la probabilidad es el área bajo la función de densidad:
$$P(18,5 \le X \le 20,0) = \frac{20,0 – 18,5}{22-18} = \frac{1,5}{4} = 0,375.$$
- $P(X > 21,0)$
$$P(X > 21,0) = \frac{22 – 21,0}{22 – 18} = \frac{1}{4} = 0,25.$$
Sea $X$ el pH de la solución nutritiva en un sistema hidropónico, con $X \sim U[4, 5]$.
- Función de densidad: Con $a = 4$ y $b = 5$, $f(x) = \frac{1}{5-4} = 1$ en $[4, 5]$.
- $P(X = 4,5)$ $\rightarrow = 0$.
- $P(4,2 \le X \le 4,7)$
$$= \frac{4,7 – 4,2}{5 – 4} = \frac{0,5}{1} = 0,5.$$ - $P(X < \dots)$ (El cálculo está incompleto en el original, pero se asume la estructura de la uniforme).
IV. Estadística Descriptiva y Pruebas de Hipótesis
Estimación Puntual
Los datos muestrales siguientes provienen de un experimento realizado en Catemito, donde se midió el crecimiento (en metros) de las raíces para árboles frutales. Los datos son los siguientes: $10, 8, 12, 15, 13, 11, 6, 5$.
- a) ¿Cuál es la estimación puntual de la media poblacional ($\mu$)?
Se calcula la media muestral ($\bar{x}$):
$$\bar{x} = \frac{10 + 8 + 12 + 15 + 13 + 11 + 6 + 5}{8} = \frac{80}{8} = 10 \text{ metros}.$$
La estimación puntual es $\bar{x} = 10$.
- ¿Cuál es la estimación puntual de la desviación estándar poblacional ($\sigma$)?
Se calcula la desviación estándar muestral ($s$):
$$s = \sqrt{\frac{\sum(x_i – \bar{x})^2}{n-1}}.$$
Cálculo de las desviaciones al cuadrado: $(10-10)^2 + (8-10)^2 + (12-10)^2 + (15-10)^2 + (13-10)^2 + (11-10)^2 + (6-10)^2 + (5-10)^2 = 0 + 4 + 4 + 25 + 9 + 1 + 16 + 25 = 84$.
$$s = \sqrt{\frac{84}{8-1}} = \sqrt{\frac{84}{7}} = \sqrt{12} \approx 3,464 \text{ metros}.$$
La estimación puntual es $s \approx 3,464$.
Prueba de Hipótesis sobre la Media
El personal de ventas de Veterquímica, en promedio, vende $8000 semanales. El gerente de la empresa propone un plan de compensaciones con nuevos incentivos de venta. Con esto espera que los resultados de un periodo de prueba le permitan concluir que el plan de compensaciones aumenta el promedio de ventas de los vendedores.
a) Establezca las hipótesis nula y alternativa adecuadas.
Respuesta:
- $H_A: \mu > 8000$ (El plan aumenta el promedio)
- $H_0: \mu \le 8000$ (El plan no aumenta el promedio o lo disminuye)
b) En esta situación, ¿cuál es el error tipo I? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
Respuesta: El error de Tipo I es rechazar $H_0$ cuando es cierta. Corresponde a la afirmación del investigador de que el nuevo plan de compensación mejora las ventas medias ($\mu > 8000$) cuando en realidad el nuevo plan no es mejor que el sistema actual ($\mu \le 8000$).
c) En esta situación, ¿cuál es el error tipo II? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
Respuesta: El error de Tipo II es aceptar $H_0$ cuando es falsa. Corresponde a que el investigador concluye que el plan de compensación con nuevos incentivos de venta no es mejor que el sistema actual ($\mu \le 8000$), cuando en realidad el nuevo plan sí mejora la media de ventas por vendedor ($\mu > 8000$).
Prueba de Hipótesis con Nivel de Confianza
Un fabricante es proveedor de los ejes traseros para los tractores de una importante empresa agroindustrial. Estos ejes deben soportar $80.000$ libras por pulgada cuadrada ($\text{psi}$) en pruebas de carga, pero un eje excesivamente fuerte eleva los costos de producción de manera significativa, mientras que un eje excesivamente liviano causa inestabilidad de la máquina. La larga experiencia indica que la desviación estándar de la resistencia de sus ejes es $\sigma = 4.000 \text{ psi}$. El fabricante selecciona una muestra de $n = 100$ ejes de la producción, los prueba y encuentra que la capacidad de carga media de la muestra es $\bar{x} = 79.600 \text{ psi}$. Si el fabricante de ejes utiliza un nivel de confianza de $95\%$ para realizar una prueba de hipótesis, ¿satisfarán los ejes sus requerimientos de carga?
Pasos para probar la hipótesis:
1. Establecimiento de Hipótesis: Se busca verificar si la resistencia media es al menos $80.000 \text{ psi}$.
$$H_0: \mu = 80.000 \quad \text{o} \quad H_0: \mu \ge 80.000$$
$$H_A: \mu < 80.000 \quad \text{(Prueba unilateral izquierda)}$$
2. Nivel de Significación y Valor Crítico:
Nivel de confianza $= 95\% \implies \alpha = 0,05$. Como es una prueba unilateral izquierda (buscamos evidencia de que es menor), el valor crítico $Z_{\alpha}$ es el valor que deja el $5\%$ en la cola izquierda de la distribución normal estándar.
$$Z_{\text{crítico}} = -1,645$$
3. Cálculo del Estadístico de Prueba ($Z_{\text{calc}}$):
$$Z_{\text{calc}} = \frac{\bar{x} – \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{79.600 – 80.000}{4.000 / \sqrt{100}} = \frac{-400}{4.000 / 10} = \frac{-400}{400} = -1$$
4. Regla de Decisión y Conclusión:
La región de rechazo es $Z < -1,645$.
Como $Z_{\text{calc}} = -1$ y $-1 > -1,645$, el valor cae en la región de aceptación.
Conclusión: No se debe rechazar $H_0$. El fabricante debe aceptar que la corrida de producción reúne los requisitos de carga, ya que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte (al nivel de significancia del $5\%$) para concluir que la resistencia media es inferior a $80.000 \text{ psi}$.