Pruebas de Supuestos Estadísticos: Normalidad y Homocedasticidad

Al realizar análisis estadísticos como el ANDEVA, es fundamental verificar ciertos supuestos sobre los datos. Dos de los más importantes son la Normalidad (los residuos siguen una distribución normal) y la Homocedasticidad (igualdad de varianzas entre grupos). A continuación, se discuten algunas pruebas comunes para estos supuestos, junto con sus ventajas y desventajas.

Pruebas de Normalidad

Kolmogorov-Smirnov (K-S)

• Ventajas: Es relativamente sencillo de realizar. Con tamaños de muestra pequeños, tiende a indicar normalidad, lo cual es útil ya que en muestras reducidas hay menor probabilidad de encontrar datos atípicos que distorsionen el resultado.
• Desventajas: Es muy sensible a datos atípicos. Si existe un dato anómalo, la prueba puede indicar que la distribución no es normal, incluso si la mayoría de los datos lo son. Por ello, no es la prueba más adecuada para muestras grandes, donde la probabilidad de encontrar atípicos es mayor.

Prueba de Bondad de Ajuste (Chi-cuadrado)

• Ventajas: Puede utilizarse con tamaños de muestra grandes. Es menos sensible a datos atípicos; la presencia de un solo dato anómalo no suele impedir que la prueba concluya normalidad si la distribución general se ajusta.
• Desventajas: Es más compleja de realizar que K-S, requiriendo conocimientos que abarcan desde estadística básica (como la construcción de histogramas) hasta conceptos más avanzados.

Pruebas de Homocedasticidad

Prueba de Cochran

• Ventajas: Es fácil de calcular en comparación con otras pruebas. Cochran desarrolló su propia tabla para facilitar la interpretación.
• Desventajas: Fue diseñada originalmente para tamaños de muestra iguales. Aunque existen adaptaciones, su aplicación con tamaños desiguales requiere considerar los grados de libertad más pequeños.

Prueba de Bartlett

• Ventajas: Es sencillo de realizar conceptualmente.
• Desventajas: Es más tedioso debido a la cantidad de cálculos requeridos. Implica el uso de logaritmos, lo que puede generar confusión para algunos usuarios.

Tanto la prueba de Cochran como la de Bartlett funcionan de manera similar y se utilizan para el mismo propósito: evaluar la igualdad de varianzas.

Importancia de Cumplir los Supuestos de Normalidad y Homocedasticidad en el ANDEVA

Cumplir con los supuestos de Normalidad y Homocedasticidad es crucial al realizar un Análisis de Varianza (ANDEVA) por varias razones:

• Normalidad: Es imprescindible para la representatividad de las medias. Si los datos no son normales, la media aritmética puede no ser una medida de tendencia central adecuada, y la desviación estándar no será un estimador fiable de la variabilidad. Esto invalida el uso de pruebas paramétricas como el ANDEVA. Además, sin normalidad, el Cuadrado Medio del Error (CM_error) no sigue una distribución Chi-cuadrado (χ²), y la razón de cuadrados medios (el estadístico F) no se distribuirá según la distribución F de Fisher. Las conclusiones basadas en la prueba F serían, por tanto, inválidas.
• Homocedasticidad: La igualdad de varianzas es necesaria porque el ANDEVA compara las medias de diferentes grupos basándose en una estimación combinada de la varianza poblacional. Si las varianzas son iguales entre grupos, cualquier diferencia significativa observada en las medias puede atribuirse al efecto del factor estudiado, validando la prueba. Si las varianzas son desiguales (heterocedasticidad), la estimación de la varianza combinada no es precisa, lo que afecta la fiabilidad del estadístico F y puede llevar a conclusiones erróneas. Las muestras deben ser comparables en términos de su variabilidad interna.

Modelos ANDEVA: 1 Vía, Bloques y Multivía (4 Vías)

Los modelos de ANDEVA varían según el número de factores (vías) que se estudian simultáneamente y cómo se estructura el diseño experimental.

ANDEVA de 1 Vía

Se utiliza cuando se investiga el efecto de un único factor (con dos o más niveles) sobre una variable de respuesta continua. El objetivo es determinar si las medias de los grupos definidos por los niveles del factor son significativamente diferentes.

ANDEVA en Bloques

Este diseño se emplea para controlar una fuente de variabilidad conocida y no deseada (el factor de bloqueo) que podría influir en la variable de respuesta. Al agrupar las unidades experimentales en bloques homogéneos, se aísla la variabilidad debida al bloque del error experimental, aumentando la precisión al evaluar el efecto del factor principal. Se sigue haciendo inferencia sobre un factor principal, y en el modelo básico no se considera la interacción entre el factor principal y el bloque.

ANDEVA de 4 Vías

En este modelo, se investiga simultáneamente el efecto de cuatro factores sobre una variable de respuesta. El modelo incluye los efectos principales de cada uno de los cuatro factores, así como todas las posibles interacciones entre ellos (interacciones de dos, tres y cuatro factores). Esto genera un gran número de efectos a estimar e interpretar.

Discusión del Enunciado: «a medida que aumenta el num. De vías, el modelo se asemeja más a la realidad, por lo que mientras más vías se tenga, mejor»

El enunciado «a medida que aumenta el número de vías, el modelo se asemeja más a la realidad, por lo que mientras más vías se tenga, mejor» es **incorrecto**.

Si bien un modelo con más vías puede, en teoría, capturar interacciones complejas que existen en la realidad, esto no lo hace inherentemente «mejor». Las diferencias entre los modelos radican en el número de factores estudiados y, crucialmente, en el número de preguntas de investigación que se abordan (efectos principales e interacciones).

Al aumentar el número de vías, el número de efectos a investigar crece exponencialmente (como se ve al comparar un modelo de 1 vía con uno de 4 vías). Esto significa que hay muchas más hipótesis que probar y resultados que interpretar y discutir.

Un mayor número de vías puede diluir el poder estadístico para detectar efectos individuales o interacciones específicas, a menos que el tamaño muestral sea muy grande. La interpretación de interacciones de alto orden (entre múltiples factores) puede ser extremadamente compleja y a menudo menos relevante o interpretable que los efectos principales o interacciones de bajo orden.

Por lo tanto, un modelo con más vías no es automáticamente «mejor». La elección del modelo debe basarse en la pregunta de investigación específica, la teoría subyacente que guía el estudio y la capacidad práctica para diseñar un experimento con suficiente poder y para interpretar los resultados complejos. Un modelo de 1 vía, al centrarse en un único factor, a menudo permite una interpretación y conclusión más directa y poderosa sobre el efecto de ese factor principal.

Por qué la Prueba F del ANDEVA es Unilateral (de una Sola Cola)

La regla de decisión para la prueba F en cualquier Análisis de Varianza es unilateral, es decir, de una sola cola (la cola superior o derecha), a pesar de que la hipótesis nula (H₀) postula la igualdad entre las medias de los grupos.

Esto se debe a cómo se construye el estadístico de prueba F: es la razón entre el Cuadrado Medio del Tratamiento (CM_trat) y el Cuadrado Medio del Error (CM_error):

F = CM_trat / CM_error

La hipótesis nula (H₀: las medias de los grupos son iguales) implica que la variabilidad entre los grupos (reflejada en CM_trat) es similar a la variabilidad dentro de los grupos (reflejada en CM_error), que se considera variabilidad aleatoria o error. Bajo H₀, se espera que la razón F sea cercana a 1.

La hipótesis alternativa (H₁: al menos una media es diferente) implica que la variabilidad entre los grupos es mayor que la variabilidad dentro de los grupos. Si hay un efecto real del tratamiento o factor, el CM_trat será significativamente mayor que el CM_error, resultando en un valor de F grande.

• Si el CM_trat es significativamente mayor que el CM_error, el estadístico F será grande y caerá en la cola superior (derecha) de la distribución F. Esta es la zona de rechazo de H₀, lo cual es lógico, ya que un F grande proporciona evidencia a favor de la hipótesis alternativa (diferencias entre medias).
• Si el CM_error es mayor o similar al CM_trat, el estadístico F será cercano a 1 o menor. Esto es consistente con la hipótesis nula (no hay efecto significativo del tratamiento) y el estadístico F caerá en la zona de aceptación de H₀.

¿Qué pasaría si fuera bilateral?

Una prueba bilateral tendría zonas de rechazo en ambas colas. Un F grande (CM_trat >> CM_error) caería correctamente en la zona de rechazo derecha. Sin embargo, un F muy pequeño (CM_error >> CM_trat) también caería en una zona de rechazo (la izquierda). Rechazar H₀ basándose en un F muy pequeño no tiene sentido en el contexto del ANDEVA, ya que un F pequeño no proporciona evidencia de que las medias sean diferentes; más bien sugiere que la variabilidad dentro de los grupos es mayor que la variabilidad entre ellos, lo cual es consistente con la hipótesis nula o indica otros problemas, pero no apoya la hipótesis alternativa de diferencias entre medias.

Por lo tanto, solo nos interesa detectar valores de F que son significativamente mayores que 1, lo que corresponde a la cola superior de la distribución F. La prueba F está diseñada específicamente para detectar si la variabilidad explicada por el modelo (entre grupos) es significativamente mayor que la variabilidad no explicada (error), lo cual justifica el uso de una prueba unilateral.