Regresión Lineal: Fundamentos y Parámetros Clave

Conceptos Básicos de la Regresión

• Y = Variable Dependiente: El interés o resultado que se desea predecir o explicar (variable numérica).
• X = Variable Explicativa: La causa o factor que influye en Y (utilizada para predecir, evaluar o adquirir conocimiento).

Ecuación del Modelo de Regresión

Y = B₀ + B₁*X + E

• B₀ (Intersección): Valor de Y cuando X = 0. Representa el valor base de la variable dependiente.
• B₁ (Pendiente): Indica cuánto cambia Y por cada unidad adicional de X.
• E (Error): El término de error o residuo.

Tipos de Relación en la Regresión

• Recta Plana: X no tiene impacto sobre Y (pendiente = 0).
• Recta Negativa: Y y X tienen una relación inversa (a medida que X aumenta, Y disminuye).

Significación Estadística de los Parámetros

Hipótesis para la Significación de Parámetros (H₀ y H₁)

Para determinar si los parámetros son estadísticamente significativos, se plantean las siguientes hipótesis:

• H₀ (Hipótesis Nula): B_k = 0 (La variable no tiene efecto sobre Y, es irrelevante).
• H₁ (Hipótesis Alternativa): B_k ≠ 0 (La variable sí tiene efecto sobre Y).

Interpretación del P-valor

El P-valor es crucial para la toma de decisiones:

• Si P-valor < α (nivel de significancia, ej. 0.05): Rechazamos H₀. Se afirma que el modelo es estadísticamente significativo; al menos alguna de las variables es significativa y debe mantenerse en el modelo.
• Si P-valor ≥ α: No rechazamos H₀. El modelo es inútil, lo que sugiere que las variables X no tienen un impacto significativo en la variable dependiente y deberían ser eliminadas del modelo.

Nivel de Confianza e Intervalos

Con un nivel de confianza del 95%, se estima que por cada unidad adicional de X (ej. edad, número de productos), la variable Y (ej. gasto medio mensual) varía entre [límite inferior] y [límite superior].

• Si el intervalo de confianza no incluye el 0: Se confirma que el efecto es estadísticamente significativo y positivo (o negativo, según el signo de los límites).
• Si el intervalo de confianza contiene el 0: El resultado no es concluyente, lo que sugiere que la variable podría no tener un efecto significativo.

Evaluación Global del Modelo de Regresión

Test F: Significación Conjunta del Modelo

Evalúa si el modelo en su conjunto es estadísticamente significativo.

• H₀: El modelo no es estadísticamente significativo.
• H₁: El modelo es estadísticamente significativo.

Se evalúa mediante el P-valor asociado al Test F.

R² (Coeficiente de Determinación)

Mide la proporción de la variabilidad de Y explicada por X. Su valor oscila entre 0 y 1.

• Nunca disminuye al añadir más variables al modelo.
• R² = 1: Modelo perfecto; explica toda la variabilidad de Y.
• Ejemplo: Un R² de 0.80 significa que el 80% de la variabilidad de Y puede explicarse por X, dejando un 20% como variabilidad no explicada.
• R² ≈ 0: Modelo inútil; X no explica nada de la variabilidad de Y. Un valor bajo (ej. 0.1) sugiere que el modelo no ayuda a predecir Y y las variables no son útiles para entenderlo.

R² Ajustado

Siempre es más pequeño que R², ya que penaliza la inclusión de variables que no mejoran el modelo. Es una medida más fiable para comparar modelos con diferente número de variables.

Consideraciones sobre R² y P-valor

Es importante considerar ambos valores. Por ejemplo, si el P-valor del Test F indica que el modelo es significativo (P-valor < α), pero el R² es muy bajo (ej. 0.15), esto indica que, aunque el modelo sea estadísticamente significativo, su capacidad predictiva es limitada y las variables no son del todo útiles para entender la variable dependiente (Y). El R² ajustado será más pequeño que el R² simple, especialmente si se incluyen variables irrelevantes, lo que refuerza la importancia de seleccionar variables significativas.

Análisis de Segmentación: Clusters y K-Means

Concepto de Variabilidad

La Variabilidad mide cuánto varían o se diferencian los datos entre sí. Por ejemplo, entre 1.7 y 1.6, hay poca variabilidad.

Clusters (Conglomerados)

Los Clusters son grupos de individuos que comparten similitudes. La segmentación puede basarse en criterios sociodemográficos, psicográficos, actitudinales o de estilo de vida.

K-Means: Técnica de Segmentación

K-Means es una técnica de segmentación que agrupa individuos en clústeres basándose en la distancia entre ellos.

Pasos del Algoritmo K-Means:

1. Establecer el número de clústeres (k).
2. Asignar centroides aleatorios iniciales.
3. Asignar cada observación al centroide más cercano.
4. Recalcular los centroides (al centro de cada clúster).
5. Repetir los pasos 3 y 4 hasta que nadie cambie de grupo (convergencia).

Criterios para Elegir el Número de Clústeres (k):

• Criterio estadístico.
• Técnica del Codo.
• Criterio de investigación de mercados.

Interpretación de Clústeres

Análisis Vertical y Horizontal

• Análisis Vertical: Compara valores dentro de cada clúster para identificar qué variables destacan (ej. verde: media significativamente superior; amarillo: media sin diferencia significativa; rojo: media significativamente inferior).
• Análisis Horizontal: Evalúa diferencias significativas entre clústeres (ej. mediante T-Test de Student). Si aparece una letra (ej. ‘a’, ‘b’), indica que es significativamente superior a otro grupo.

Consejos para la Presentación: Utilizar Storytelling, Puntos Clave (Bullet Points) y palabras concisas.

Técnica del Codo para K-Means

Esta técnica ayuda a determinar el número óptimo de clústeres (k) observando la inercia (suma de cuadrados intra-clúster).

• Inercia (Intra-clúster): Mide la dispersión dentro del clúster; cuanto menor, mejor.
• Distancia Inter-clúster: Mide la distancia entre centroides; cuanto mayor, mejor.

El punto de inflexión en k = [valor] es el número óptimo. A partir de este valor, añadir más clústeres no mejora significativamente la varianza explicada; es decir, el modelo ya no mejora sustancialmente, por lo que se considera la opción más eficiente.

Proporción de Varianza Explicada por Clústeres

• Proporción Inter-clúster (Varianza Explicada entre Clústeres) para K = [valor]:
  • Si es > 0.5: Los clústeres están bien separados y la segmentación es fiable (más de la mitad de la variación se explica por la pertenencia a clústeres distintos).
  • Si es ≈ 0.5: Separación aceptable, pero con cierta mezcla.
• Proporción Intra-clúster (Varianza Explicada dentro de Clústeres) para K = [valor]:
  • Si es > 0.5: Clústeres dispersos (más de la mitad de la variación ocurre dentro de los clústeres). Los individuos de un mismo grupo siguen estando bastante dispersos, por lo que la segmentación es poco útil (individuos agrupados que en realidad son bastante distintos entre sí).
  • Si es ≈ 0.5: Separación aceptable, pero con cierta mezcla.

Análisis Factorial: Reducción de Dimensionalidad

El Análisis Factorial sirve para agrupar variables (o preguntas) que en realidad miden el mismo concepto subyacente, con el objetivo de reducir la cantidad de variables sin perder información relevante.

Matriz de Correlaciones

Muestra la relación lineal entre todas las variables (numéricas o codificadas), con valores que van de -1 (correlación negativa fuerte) a 1 (correlación positiva fuerte).

Interpretación de Correlaciones:

• Correlaciones Elevadas: Entre las variables […], lo que sugiere que probablemente miden el mismo constructo y refuerzan la idea de una posible variable latente en torno a […].
• Todas las Variables Casi Iguales: Esto indica una alta coherencia interna entre las variables. En este caso, parece haber una cohesión interna del bloque, por lo que es muy probable que exista una única variable latente clara que agrupe estos ítems relacionados con […].
• Casi Todas las Correlaciones Bajas, Solo Destacan Dos: Esto sugiere cierta relación entre las variables que tienen que ver con […]. Sin embargo, no todas las relaciones de este bloque presentan relaciones significativas, lo que puede indicar que este grupo abarca subconceptos distintos dentro de la misma temática general.
• Solo 1 Variable Alta: A pesar de que todas las variables relacionadas con […], no presentan correlaciones altas entre sí. Solo se localiza una variable con una carga factorial alta, lo que apunta a que puede estar midiendo aspectos distintos. Por lo tanto, es poco probable que este bloque se explique solo por una variable latente y es probable que existan subconceptos.

Varianza Explicada por Factores

Al reducir muchas variables a pocos factores, se pierde información. Este análisis sirve para saber cuánta información se pierde y cuánta se retiene.

Métodos para Determinar el Número de Factores:

• Criterio de Kaiser: Se seleccionan factores con un Eigenvalor (valor propio) superior a 1.
• Varianza Acumulada: Se buscan factores que expliquen al menos el 60% de la varianza total.
• Técnica del Codo: Se seleccionan los factores antes del punto de inflexión en el gráfico de sedimentación, ya que la variabilidad que explica cada factor después del «codo» es mínima. Así, solo los [número] primeros factores aportan información relevante del conjunto de datos.

Cargas Factoriales

Es una tabla que indica la relación (correlación) de cada variable original con cada factor, con valores que van de -1 a 1.

• Se interpretan las cargas superiores a 0.5 (en valor absoluto) para cada factor.
• Un signo positivo (+) indica una correlación positiva.
• Un signo negativo (-) indica que la variable forma parte del factor pero en sentido contrario (ej. un valor alto en el factor se asocia con un valor bajo en el ítem).
• Se debe describir el tema o concepto subyacente que agrupa cada factor basándose en las variables con cargas altas.

Biplot: Visualización de Factores y Variables

El Biplot es una representación gráfica que permite visualizar simultáneamente las variables y los individuos en el espacio factorial.

1. Interpretar los Ejes: Representan los factores principales.
2. Interpretar las Variables: Cada flecha representa una variable.
   • La dirección de la flecha indica con qué factor se relaciona más.
   • Una flecha larga y fuerte indica una alta correlación con ese factor.
   • Una flecha corta o en otra dirección indica poca relación con los factores principales.
3. Analizar la Dispersión de los Individuos: Permite identificar patrones o grupos de individuos en relación con los factores.