Álgebra Lineal Fundamental

Argumento de un Número Complejo

Dado un número complejo z = a + bi, consideremos v = (a, b) ∈ ℝ². Se llama argumento principal del número complejo z = a + bi al ángulo α ∈ [0, 2π] que forma v = (a, b) con la parte positiva del eje de abscisas. Se denota arg(z) = α.

Teorema Fundamental del Álgebra

Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas (iguales o distintas).

Rango de una Matriz

Se llama rango de una matriz al número de filas no nulas que se obtiene tras aplicar el método de Gauss a dicha matriz. El rango de una matriz A se denota rank(A).

Teorema de Rouché-Frobenius

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas AX = B con coeficientes en el cuerpo conmutativo K, dicho sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz del sistema y el de la matriz ampliada coinciden.

Rango de un Sistema de Ecuaciones

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas AX = B con coeficientes en el cuerpo conmutativo K, se llama rango del sistema al rango de la matriz A de dicho sistema.

Espacios Vectoriales

Base de un Espacio Vectorial

Sea V un K-espacio vectorial, un sistema generador de V que además es libre, se dice base de V.

Sistema Generador de un Espacio Vectorial

Un sistema de vectores de V (v₁, v₂, …, vₙ) se dice sistema generador de V si el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores del sistema es igual a V. En ese caso, se denota V = L{v₁, v₂, …, vₙ}.

Coordenadas de un Vector en una Base

Son los únicos escalares que permiten escribir un vector v como combinación lineal de la base B.

Dimensión de un Espacio Vectorial

Sea V un K-espacio vectorial no nulo, dim_K(V) = n:

• n es el máximo número de vectores en un sistema libre de V.
• n es el mínimo número de vectores en un sistema generador de V.
• Si un sistema {v₁, v₂, …, vₙ} es libre, entonces es base de V.
• Si un sistema {v₁, v₂, …, vₙ} es generador de V, entonces es base de V.

Operaciones Elementales en un Espacio Vectorial

Son aquellas que se pueden hacer en el sistema de forma que, tras realizarlas, el sistema obtenido tiene el mismo carácter en cuanto a generación y en cuanto a dependencia e independencia lineal, que el sistema de partida.

• Cambiar de orden vectores del sistema.
• Multiplicar un vector del sistema por un escalar no nulo.
• Sumar a un vector del sistema una combinación lineal de los restantes vectores.

Subespacio Vectorial

Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V. Diremos que S es un subespacio vectorial de V si es K-espacio vectorial con las operaciones heredadas de V. Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V. Entonces S es un subespacio vectorial de V si y solo si:

• a + b ∈ S, ∀ a, b ∈ S
• α * a ∈ S, ∀ a ∈ S y ∀ α ∈ K.

Esto nos asegura que un subconjunto no vacío de un espacio vectorial es subespacio si y solo si cualquier combinación lineal de vectores en dicho subconjunto vuelve a estar en el subconjunto.

Ecuación de Dimensiones para Subespacios

Sea V un K-espacio vectorial y sean S y T dos subespacios vectoriales de V. dim_K(S+T) + dim_K(S ∩ T) = dim_K(S) + dim_K(T).

Suma Directa de Subespacios

Sea V un K-espacio vectorial y sean S y T dos subespacios vectoriales de V. Se dice que el subespacio suma S+T es una suma directa si para cada vector de S+T existe un único vector de S y un único vector de T cuya suma sea el vector considerado. Si u ∈ S+T, existe un único vector s ∈ S y existe un único vector t ∈ T tal que u = s + t. Se denota S ⊕ T.

Aplicaciones Lineales

Aplicación Lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una aplicación f: V → W se dice aplicación lineal si cumple:

• f(v + w) = f(v) + f(w), ∀ v, w ∈ V
• f(αv) = αf(v), ∀ v ∈ V y ∀ α ∈ K.

Si V y W son dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y f: V → W es una aplicación entre ellos, f es aplicación lineal si y solo si f(αw + βv) = αf(w) + βf(v), ∀ v, w ∈ V y ∀ α, β ∈ K.

Matriz de una Aplicación Lineal

Se dice que A es la matriz de la aplicación lineal f elegidas las bases B_V y B_W. Es aquella que tiene por columnas las coordenadas en la base B_W de las imágenes por f de los vectores de la base B_V. Notar que su número de filas es la dimensión de W, mientras que su número de columnas es la dimensión de V.

Núcleo de una Aplicación Lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y f ∈ L(V, W). Se llama núcleo de f al subespacio de V.

ker(f) = {u ∈ V / f(u) = 0_W} = f⁻¹({0_W}).

Imagen de una Aplicación Lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y f ∈ L(V, W). Se llama imagen de f al subespacio de W.

im(f) = {f(u) ∈ W / u ∈ V} = f(V).

Teorema de la Dimensión para Aplicaciones Lineales

Sea V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y f ∈ L(V, W). Entonces:

dim_K(ker(f)) + dim_K(im(f)) = dim_K(V).

Subespacio Suplementario

Sea V un K-espacio vectorial y sea S un subespacio vectorial de V. Se llama subespacio suplementario de S en V a cualquier subespacio T de V cumpliendo S + T = V.

Teorema de Existencia y Unicidad de Aplicaciones Lineales

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Sea B_V = {v₁, v₂, …, vₙ} una base de V y {w₁, w₂, …, wₙ} un sistema de vectores de W con n = dim_K(V) vectores. Entonces existe una única aplicación lineal f: V → W tal que f(vᵢ) = wᵢ para todo i ∈ {1, …, n}.

Espacios Euclídeos y Diagonalización

Espacio Euclídeo

Sea V un espacio vectorial sobre los reales ℝ y f: V × V → ℝ una función bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada es definida positiva. El par (V, f) se dice espacio euclídeo. En este caso, la función f se dice producto escalar de dicho espacio euclídeo y se denota, para cualesquiera vectores v y w de V, f(v, w) = v ⋅ w.

Base Ortonormal

Sea V un espacio euclídeo y B = {v₁, v₂, …, vₙ} una base de V. Entonces B es una base ortonormal de V si y solo si la matriz del producto escalar en dicha base es la matriz identidad.

Subespacio Ortogonal Suplementario

Sea V un espacio euclídeo y S un subespacio de V. Existe un único subespacio suplementario de S que es ortogonal a S. Se llama subespacio ortogonal suplementario de S, se escribe S⊥, verificándose S ⊕ S⊥ = V.

Vector Propio

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea f un operador lineal definido en V. Un vector v de V se dice vector propio de f si f(v) = λv para algún λ ∈ K.

Valor Propio

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea f un operador lineal definido en V. Un escalar λ ∈ K se dice valor propio de f si existe v ∈ V con v ≠ 0 tal que f(v) = λv.

Subespacio Propio

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea f un operador lineal definido en V y sea λ ∈ K un valor propio de f. Entonces el conjunto S(λ) = {v ∈ V / f(v) = λv} es un subespacio de V. Se dice subespacio propio de f asociado al valor propio λ.

Matrices Semejantes

Dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz P regular tal que B = P⁻¹AP. Tienen el mismo polinomio característico y el mismo determinante.

Subespacio Propio de una Matriz

Si λ ∈ K es raíz del polinomio característico de A, es valor propio de A. El subespacio propio de A asociado al valor propio λ es: S(λ) = {x ∈ Kⁿ / (A – λI)x = 0}.

Matriz Diagonalizable

Sea A una matriz cuadrada de orden n sobre un cuerpo K. Entonces A es diagonalizable sobre K si y solo si cumple:

• Todas las raíces del polinomio característico P_A(x) están en K.
• La dimensión de cada subespacio propio de A coincide con la multiplicidad algebraica del correspondiente valor propio como raíz de P_A(x).

Criterio de Diagonalización por Subespacios Propios

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, sea f un operador lineal definido en V. Entonces f es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de los subespacios propios es igual a la dimensión de V: dim_K(S(λ₁)) + … + dim_K(S(λ_m)) = dim_K(V), donde λ₁, …, λ_m son los valores propios distintos de f.

Consecuencia: Si un operador lineal f en un espacio vectorial V de dimensión n tiene n valores propios distintos, entonces f es diagonalizable.