Introducción a la trigonometría

La trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia a los triángulos, sus elementos y sus relaciones.

Triángulos semejantes

Dos o más triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. En otras palabras, tienen la misma forma y diferente tamaño.

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De manera matemática se expresa: Δ(ABC) ~ Δ(A’B’C’) si y solo si

∠A = ∠A’ ; ∠B = ∠B’ ; ∠C = ∠C’

y

AB / A’B’ = BC / B’C’ = AC / A’C’ = r

Donde r es la razón o constante de proporcionalidad y nos indica si la figura resultante aumenta o disminuye de tamaño respecto de la original.

Criterios para determinar semejanza

• AA (Ángulo-Ángulo): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales.
• LAL (Lado-Ángulo-Lado proporcional): Son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
• LLL (Lado-Lado-Lado proporcional): Son semejantes si sus tres lados correspondientes son proporcionales.

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Es decir, en el criterio AA se cumple: ∠A = ∠A’ y ∠C = ∠C’.

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En el criterio LAL se cumple: ∠A = ∠A’ y AB / A’B’ = AC / A’C’ = r.

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Ejemplos de semejanza

a) ¿Los siguientes triángulos son semejantes? ¿Por qué?

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Se cumple que ∠A = ∠A’ y ∠C = ∠C’. Por lo tanto, por el criterio AA, Δ(ABC) ~ Δ(A’B’C’).

b) ¿Los siguientes triángulos son semejantes? ¿Por qué?

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Se cumple que ∠A = ∠A’ = 45°;

AB / A’B’ = 10 / 20 = 1/2 y AC / A’C’ = 16 / 32 = 1/2.

Por lo tanto, por el criterio LAL, Δ(ABC) ~ Δ(A’B’C’).

c) ¿Los siguientes triángulos son semejantes? ¿Por qué?

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AB / A’B’ = 1.8 / 5.4 = 1/3

BC / B’C’ = 1.6 / 4.8 = 1/3

AC / A’C’ = 1.2 / 2.4 = 1/2

Como las tres razones no son iguales (dos son 1/3 y la tercera es 1/2), no son semejantes.

Triángulos congruentes

Dos o más triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. Es decir, tienen la misma forma y el mismo tamaño.

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De forma simbólica: Δ(ABC) ≅ Δ(A’B’C’) si y solo si

∠A = ∠A’ ; ∠B = ∠B’ ; ∠C = ∠C’

y

AB = A’B’ , BC = B’C’ , AC = A’C’.

Criterios para determinar congruencia

• LLL (Lado-Lado-Lado): Si los tres lados correspondientes son iguales, los triángulos son congruentes.
• LAL (Lado-Ángulo-Lado): Si dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos son iguales, los triángulos son congruentes.
• ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): Si dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos son iguales, los triángulos son congruentes.

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Ejemplos de congruencia

a) ¿Los siguientes triángulos son congruentes? ¿Por qué?

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Se cumple que ∠A = 30° = ∠A’ y ∠C = 50° = ∠C’.

Además, AC = A’C’ = 12 cm.

Por lo tanto, por el criterio ALA, Δ(ABC) ≅ Δ(A’B’C’).

b) ¿Los siguientes triángulos son congruentes? ¿Por qué?

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Se cumple que ∠A = 45° = ∠A’;

AB = A’B’ = 10 y AC = A’C’ = 16.

Por lo tanto, por el criterio LAL, Δ(ABC) ≅ Δ(A’B’C’).

c) ¿Los siguientes triángulos son congruentes? ¿Por qué?

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Se cumple que AB = A’B’ , BC = B’C’ y AC = A’C’.

Por lo tanto, por el criterio LLL, Δ(ABC) ≅ Δ(A’B’C’).

Triángulos semejantes y congruentes (Parte III)

Ejemplos de construcción

a) Construye un triángulo semejante al siguiente con una razón de 3 a 1.

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1. Para construir un triángulo semejante se usa r = 3/1. Debemos dividir el segmento AB para obtener A’B’.
2. AB / r = A’B’ → (9 cm) / (3/1) = 3 cm. Por tanto A’B’ = 3 cm.
3. Trazamos el segmento A’B’ = 3 cm.
4. Con el transportador, posicionado en A’, traza desde la derecha hacia la izquierda el ángulo de 40°.
5. Con el transportador, posicionado en B’, traza desde la izquierda hacia la derecha el ángulo de 45°.

b) Traza un triángulo congruente al del inciso a).

1. Trazamos el segmento A’B’ = 9 cm.
2. Con el transportador, posicionado en A’, traza desde la derecha hacia la izquierda el ángulo de 40°.

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Teorema de Tales

Parte I: ¿Quién era Tales?

Tales de Mileto (624 a. C. – 546 a. C.) vivió y murió en Mileto, polis griega de la costa jonia (hoy en Turquía).

En matemáticas aportó varias ideas, entre ellas teoremas sobre la semejanza de triángulos. Una de sus historias más famosas explica cómo estimó la altura de las pirámides de Guiza midiendo la sombra de la pirámide y la de un bastón.

Conceptos necesarios

• Teorema: Enunciado demostrable mediante razonamientos matemáticos.
• Triángulos semejantes: Dos triángulos con ángulos iguales y lados correspondientes proporcionales.
• Líneas paralelas: Dos o más líneas que mantienen la misma distancia entre sí y no se cortan.

Primer teorema de Tales (parte I)

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, el triángulo formado es semejante al original.

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Ejemplos (determinación de x)

a)

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Para determinar el valor de x se compara el lado mayor de un triángulo con el lado mayor del otro:

(6 + x) / 6 = 12 / 18

6·18 = 12·(6 + x)

108 = 72 + 12x

36 = 12x

x = 3

b)

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Para determinar x se plantea la proporción:

16 / 12 = 9 / x

x·16 = 12·9

16x = 108

x = 108 / 16

x = 6.75

Teorema de Tales (parte II)

Si dos rectas cualesquiera son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Es decir:

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1: Si AB = 8, BC = 18, ED = 24, calcula el valor de EF.

Por el teorema de Tales se tiene:

AB / EF = BC / ED

8 / x = 18 / 24

8·24 = 18·x

192 = 18x

x = 192 / 18

x ≈ 10.666… ⇒ EF ≈ 10.67

Ejemplo 2: Calcula el valor de x en la proporción:

(x – 3) / 3 = (x + 1) / 5

5(x – 3) = 3(x + 1)

5x – 15 = 3x + 3

2x = 18

x = 9