El Cálculo Integral: Fundamentos y Aplicaciones

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama fundamental de las matemáticas avanzadas. Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue utilizado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Orígenes Históricos: El Método de Exhaución

El origen del Cálculo Integral se remonta a más de 2400 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del área, ideando el procedimiento que llamaron Método de Exhaución. Las ideas esenciales de este método son realmente muy simples. Desde Arquímedes, el desarrollo del Método de Exhaución tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de los símbolos y técnicas algebraicas se incorporó a los estudios matemáticos.

Este proceso también es conocido como el Método de Agotamiento; quedó descrito en El Método, un libro de Arquímedes en el que se explica este procedimiento. Dicho proceso se convirtió en la base de los conceptos que en el siglo XVII permitieron a Isaac Newton y a Gottfried Leibniz unificar el cálculo diferencial con el integral, lo cual conllevó la posterior definición rigurosa de límite de una función por Bernard Bolzano, Cauchy y Weierstrass.

La Conexión con la Suma de Riemann

El método de agotamiento es el precursor del concepto de Suma de Riemann, que permite definir con rigor la integral de una función en un intervalo. El cambio lento, pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemáticas empezó en el siglo XVI d. C.

Con la introducción de los símbolos algebraicos, revivió el interés por el antiguo Método de Exhaución y en el siglo antes mencionado se descubrieron múltiples resultados, en los que Cavalleri, Torricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros.

La Unificación del Cálculo: Newton y Leibniz

Gradualmente, el Método de Exhaución fue transformándose en lo que hoy se conoce como Cálculo Integral. Newton y Leibniz, de forma independiente, fueron en parte los responsables del desarrollo de las ideas básicas del Cálculo Integral hasta llegar a encontrar problemas que en su tiempo fueron irresolubles. Su mayor logro fue el hecho de poder fundir en uno el cálculo integral y la segunda rama importante del cálculo: el Cálculo Diferencial.

La Perspectiva de Newton y Leibniz

En la Teoría de Fluxiones de Newton, la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz, el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

El Cálculo Integral incluía, además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional y la teoría de funciones especiales, entre otras áreas.

La Sistematización de Euler

Esta formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.

Según Euler, el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con la que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida.

El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a Johann Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son solo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.

Objetivos Fundamentales del Cálculo Integral

Los principales objetivos a estudiar del cálculo integral son:

• Área de una región plana
• Cambio de variable
• Integrales indefinidas
• Integrales definidas
• Integrales impropias
• Integrales múltiples (dobles o triples)
• Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
• Métodos de integración
• Teorema fundamental del cálculo
• Volumen de un sólido de revolución

Autoría

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD In Advanced Mathematics