Problema 1: Función de Producción Agrícola a Corto y Largo Plazo

Una pequeña explotación agrícola dedicada al cultivo de maíz utiliza la siguiente función de producción:

$$Q = 10L^{0.5}K^{0.5}$$

Donde:

• Q: Cantidad de maíz producida (en toneladas).
• L: Número de horas de trabajo.
• K: Cantidad de fertilizante.

Supón que, a corto plazo, la cantidad de fertilizante está fija en $K = 100$ unidades.

a) Función de Producto Total (PT) a Corto Plazo

El Producto Total ($PT$) a corto plazo se obtiene sustituyendo el valor fijo de $K=100$ en la función de producción:

$$PT = Q(L, \bar{K} = 100) = 10L^{0.5} \cdot 100^{0.5} = 10L^{0.5} \cdot 10$$

$$\boldsymbol{PT = 100L^{0.5}}$$

b) Función de Producto Medio del Trabajo (PMeL)

El Producto Medio del Trabajo ($PMeL$) es el producto total dividido por la cantidad de trabajo ($L$):

c) Función de Producto Marginal del Trabajo (PMgL)

El Producto Marginal del Trabajo ($PMgL$) es la derivada parcial del Producto Total con respecto a $L$:

d) Rendimientos a Escala a Largo Plazo

Determine qué tipo de rendimientos a escala presenta esta función de producción a largo plazo.

Los rendimientos a escala se analizan a largo plazo (cuando todos los factores son variables). Se debe evaluar qué ocurre con la producción ($Q$) al multiplicar todos los factores de producción ($L$ y $K$) por un factor $\lambda>1$.

Dado que $Q(\lambda L, \lambda K) = \lambda Q$, la función presenta Rendimientos Constantes a Escala.

Problema 2 (Fragmento): Determinación de la Combinación Óptima

La combinación óptima es 32 horas de trabajo y 16 unidades de alimento concentrado.

Decisiones de Producción a Corto Plazo y Minimización de Pérdidas

El agricultor experimenta una pérdida de 550 UM (Unidades Monetarias) al precio de $P=40$. Sin embargo, este es el nivel de producción donde minimiza sus pérdidas (o maximiza sus beneficios de forma matemática) en el corto plazo.

Esto se debe a que el precio $P=40$ es mayor que su Costo Variable Medio ($CVMe$) en ese punto. Si $Q=30$, el $CVMe$ es:

$$CVMe = 10 + 0.5Q = 10 + 0.5(30) = 25$$

Dado que $P=40 > CVMe=25$, le conviene seguir produciendo para cubrir al menos parte de sus costos fijos.

Determinación del Punto de Cierre y la Función de Oferta

Cálculo del Costo Variable Medio (CVMe)

Luego, el $CVMe$ es el Costo Variable Total ($CVT$) dividido por $Q$:

$$CVMe = Q^2 – 8Q + 30$$

Punto de Cierre

El punto de cierre es en $Q=4$ a un precio de $P=14$. Por debajo de este precio, la empresa no produce nada ($Q=0$).

Función de Oferta de Mercado

Dado que despejar $Q$ de una ecuación cuadrática puede ser complejo y tedioso, en economía es común dejar la función de oferta en su forma implícita (Precio en función de Cantidad) siempre que se establezca claramente el rango de validez:

$$\text{Oferta: } P = 3Q^2 – 8Q + 30 \quad \text{siempre que } Q \ge 4$$

Si consideramos la función de oferta de mercado agregada (asumiendo un contexto de agregación de empresas):

$$Q_s = 20P – 100$$

Verificación del rango: Dado que la oferta individual es válida para $P \ge 5$, la oferta de mercado es válida para $P \ge 5$. Si $P=5$, $Q_s = 20(5) – 100 = 0$. El rango es consistente.

b) Cantidad Ofrecida por la Industria a P=20

Utilizamos la función de Oferta de Mercado ($Q_s$) con $P = 20$:

$$Q_s = 20P – 100 = 20 \cdot 20 – 100 = 400 – 100$$

$$\boldsymbol{Q_s = 300 \text{ toneladas}}$$

La industria ofrecerá 300 toneladas a un precio de 20.

d) Interpretación de la Elasticidad de la Oferta

Dado que la elasticidad de la oferta ($\epsilon$) es $1.25$, y $1.25 > 1$, la oferta es Elástica en ese punto.

Una elasticidad de la oferta mayor que 1 indica que el porcentaje de cambio en la cantidad ofrecida es mayor que el porcentaje de cambio en el precio. En el corto plazo, esto significa que los productores de tomates tienen una buena capacidad de respuesta ante un aumento del precio ($P=25$). Si el precio sube un 1%, la cantidad que están dispuestos a aumentar su producción es un 1.25%.

Problema 3: Equilibrio en un Mercado Monopolista

Una única gran empresa láctea opera como monopolio. Sus funciones son:

• Función de Demanda (Inversa): $$P = 100 – 0.5Q$$ (P en precio por litro, Q en miles de litros)
• Costo Total (CT): $$CT(Q) = 10Q + 0.1Q^2 + 500$$

a) Cálculo del Ingreso Total (IT) e Ingreso Marginal (IMg)

El Ingreso Total ($IT$) se calcula como $P \cdot Q$:

$$IT(Q) = (100 – 0.5Q) \cdot Q$$

$$\boldsymbol{IT(Q) = 100Q – 0.5Q^2}$$

El Ingreso Marginal ($IMg$) es la derivada del $IT$ con respecto a $Q$:

$$\boldsymbol{IMg(Q) = 100 – Q}$$

b) Nivel de Producción y Precio para Maximizar Beneficios

La condición de maximización de beneficios para un monopolio es $IMg = CMg$.

Costo Marginal (CMg)

El $CMg$ es la derivada del $CT$ con respecto a $Q$:

$$CMg(Q) = 10 + 0.2Q$$

Igualar IMg y CMg

$$100 – Q = 10 + 0.2Q$$

$$90 = 1.2Q$$

$$\boldsymbol{Q_{mon} = 75 \text{ (miles de litros)}}$$

Calcular el Precio Monopolista ($P_{mon}$)

Sustituimos $Q_{mon}$ en la función de Demanda:

$$P_{mon} = 100 – 0.5 \cdot 75$$

$$\boldsymbol{P_{mon} = 62.5}$$

El monopolista produce 75 mil litros y fija un precio de 62.5 por unidad.

c) Costo Marginal en el Punto de Producción Monopolista

Sustituimos $Q_{mon} = 75$ en la función $CMg$:

$$CMg(75) = 10 + 0.2 \cdot 75$$

$$\boldsymbol{CMg = 25}$$

d) Comparación con Competencia Perfecta (CP)

En Competencia Perfecta, la empresa toma el precio como dado, y la condición de equilibrio de mercado es $P = CMg$.

Equilibrio en Competencia Perfecta

$$P = CMg \implies 100 – 0.5Q = 10 + 0.2Q$$

$$90 = 0.7Q$$

$$\boldsymbol{Q_{CP} \approx 128.57 \text{ (miles de litros)}}$$

Precio en Competencia Perfecta ($P_{CP}$)

Sustituimos $Q_{CP}$ en la función de Demanda:

$$P_{CP} = 100 – 0.5 \cdot 128.57$$

$$\boldsymbol{P_{CP} \approx 35.71}$$

Conclusión

El monopolio resulta en una cantidad producida menor ($Q_{mon}=75 < Q_{CP} \approx 128.57$) y un precio mayor ($P_{mon}=62.5 > P_{CP} \approx 35.71$) en comparación con la competencia perfecta.

Esta diferencia genera una pérdida irrecuperable de eficiencia (o peso muerto) para la sociedad, ya que existen consumidores dispuestos a pagar más que el costo marginal de producir la unidad, pero que no acceden al bien debido al precio alto impuesto por el monopolista.