Evolución de la Percepción Espacial en la Educación Primaria: Elementos, Formas y Relaciones Geométricas en el Entorno. Intervención Educativa.

Para el desarrollo del tema seguiremos el siguiente índice:

• Introducción
• 1. Evolución de la percepción espacial en la Educación Primaria
  • 1.1. El desarrollo de los conceptos geométricos. Teoría de Piaget
  • 1.2. El modelo de niveles de Van Hiele
• 2. Elementos, formas y relaciones geométricas en el entorno: clasificación y representación
  • 2.1. Elementos geométricos
  • 2.2. Formas geométricas en el plano
  • 2.3. Figuras geométricas en el espacio
  • 2.4. Relaciones geométricas
  • 2.5. Representación geométrica
• 3. Intervención educativa
  • 3.1. Tratamiento en el Currículo
  • 3.2. Recursos didácticos
  • 3.2. Estrategias específicas de intervención educativa
• 4. Conclusión y reflexión personal
• 5. Bibliografía y webgrafía

Introducción

La Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE), modificada por la Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE), así como las disposiciones propias de la LOMCE (en adelante: LOE-LOMCE), establece como **objetivo** de la Educación Primaria en el artículo 17 el g) desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas (…) así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.

Por otro lado, la justificación de este tema viene dada por un doble marco: de una parte, aparece en la **Orden ECI/592/2007**, de 12 de marzo, que regula el temario oficial de oposición de Educación Primaria y, por otra parte, los contenidos que se incluyen vienen desarrollados en el **Real Decreto 126/2014**, por el que se establece el **currículo** de Educación Primaria, y en el **Decreto 54/2014**, de 10 de julio de 2014, por el que se establece el **currículo** de la Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha.

Este tema está relacionado con aquellos que tratan el desarrollo **psicoevolutivo** (temas 1), aspectos curriculares y su proyección en el centro educativo (temas 2 y 5), así como con los que introducen aspectos específicos de las disciplinas que conforman el área de Matemáticas (temas 20, 21, 22, 23 y 25).

En este tema tratamos la **geometría**, una disciplina imprescindible en el aprendizaje de las **matemáticas** desde las edades más tempranas debido a la funcionalidad de esta, así como su presencia en los aspectos más cotidianos de la vida de los alumnos.

1. Evolución de la Percepción Espacial en la Educación Primaria

Comenzaremos exponiendo cómo se produce la evolución de la adquisición de los conceptos geométricos en los niños. Para ello, nos basaremos en **Godino** (2002), quien introduce las teorías de **Piaget** y el modelo de niveles de **Van Hiele**.

1.1. El Desarrollo de los Conceptos Geométricos: Teoría de Piaget

En su teoría del desarrollo de los conceptos espaciales en el niño, **Piaget** distingue entre percepción y representación. Tenemos así dos etapas o estadios de desarrollo en la etapa de Primaria:

Por un lado, el estadio **sensoriomotor**, que abarca hasta los dos años, es donde el niño desarrolla las capacidades de percepción. Por otro lado, el estadio de las **operaciones concretas** se desarrolla a partir de los dos años y comienza su perfeccionamiento en torno a los siete años.

En cada uno de estos estadios, Piaget distingue, además, una progresiva diferenciación de propiedades geométricas. Por un lado, establece las **propiedades topológicas**: aquellas independientes de la forma o el tamaño, como la proximidad, separación u orden; por otro, las **proyectivas**, que suponen la capacidad para predecir qué aspecto presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos; y por último, las **euclídeas**, relativas a tamaños, distancias y direcciones.

1.2. El Modelo de Niveles de Van Hiele

En este modelo se proponen **cinco niveles jerárquicos** para describir la comprensión y el dominio de las nociones espaciales. A medida que avanzamos de nivel, se aumenta progresivamente la abstracción y complejidad.

Dichos niveles son secuenciales e independientes de la edad; el principal factor que influye en la progresión es la experiencia geométrica. Exponemos a continuación las características propias de cada nivel.

El nivel 0, correspondiente a la **visualización**, donde los objetos de pensamiento son formas y se conciben según su apariencia. Los alumnos reconocen las figuras y las nombran basándose en sus características visuales.

El siguiente nivel es el de **análisis**. Los objetos son clases de formas, en lugar de formas individuales. Los estudiantes que razonan según este nivel son capaces de considerar todas las formas incluidas en una clase en lugar de una forma singular.

El nivel 2 es la **deducción informal**. Los objetos son las propiedades de las formas; comienzan a ser capaces de pensar sobre propiedades de los objetos geométricos sin las restricciones de un objeto particular.

Los objetos de pensamiento en el nivel 3, correspondiente a la **deducción**, son relaciones entre propiedades de los objetos geométricos. Estos estudiantes son capaces de trabajar con enunciados abstractos y llegar a conclusiones basadas más sobre la lógica que sobre la intuición.

Los objetos de pensamiento del nivel 4, el **rigor**, son sistemas axiomáticos para la geometría. Es el nivel máximo de la jerarquía de pensamiento geométrico.

En la **Educación Primaria**, nos encontraremos solo con alumnos en los dos primeros niveles.

2. Elementos, Formas y Relaciones Geométricas en el Entorno: Clasificación y Representación

La geometría surgió como respuesta a ciertas necesidades de la sociedad, como medir terrenos, construcciones, esculturas, etc. Para enseñar geometría en la escuela, debemos **partir de la realidad** que nos rodea y utilizar los **ejemplos más cercanos** al niño, pues muchos de estos conceptos son demasiado abstractos para los alumnos de Primaria.

2.1. Elementos Geométricos

La unidad mínima o elemento básico de la geometría es el **punto**. A partir de los puntos creamos el resto de elementos geométricos.

**Un punto** es la intersección de dos líneas. Los puntos se denotan con letras mayúsculas.

**Una línea** es cualquier trazo continuo que no tiene ni principio ni fin, formado por infinitos puntos. Las líneas son rectas o curvas y se denotan con letras minúsculas.

**Una recta** es aquella línea en que, dados dos puntos distintos cualesquiera de la misma, la línea los une siempre por el trazado de longitud mínima.

**Un segmento** de extremos A y B es la porción de recta delimitada por estos dos puntos.

**Una semirrecta** de vértice u origen A es cada una de las dos porciones infinitas en que queda dividida la recta por A.

**Tres puntos no alineados** determinan un **plano**. Un plano no tiene espesor y es ilimitado.

Las posiciones relativas tanto de rectas como de planos son: **paralelos** si no se tocan, **iguales** si todos los puntos coinciden, **secantes** si tienen un único punto en común y **perpendiculares** si al cortarse forman cuatro ángulos rectos.

Por otro lado, los **ángulos** son la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto A, llamado **vértice**. A las semirrectas se las denomina **lados** del ángulo. Los ángulos tienen tres unidades de medida básicas: el sistema sexagesimal, el sistema circular, que es el recogido en el Sistema Internacional y cuya medida es el radián, y el sistema centesimal. En EP se trabaja el primero, que consta de tres unidades de medida: grados (°), minutos (′) y segundos (″).

Según la posición relativa de sus lados, los ángulos pueden ser:

• **Ángulo nulo**: cuando las semirrectas son coincidentes. Mide 0º.
• **Ángulo recto**: cuando las semirrectas son perpendiculares. Mide 90º.
• **Ángulo llano**: cuando las semirrectas son opuestas. Mide 180º.
• **Ángulo completo**: es el ángulo contrario al ángulo nulo. Mide 360º.

Según la amplitud, pueden ser:

• **Ángulo agudo**: cuando el ángulo que forman las semirrectas es menor que uno recto.
• **Ángulo recto**: cuando el ángulo que forman es recto.
• **Ángulo obtuso**: cuando el ángulo que forman las semirrectas es mayor que uno recto.

Dados dos ángulos, Â y Ê, situados sobre el mismo vértice, diremos que:

• Son ángulos **complementarios** si suman un ángulo recto.
• Son ángulos **suplementarios** si suman un ángulo llano.

Dados dos ángulos no situados necesariamente sobre el mismo vértice, se dice que son:

• **Externos** cuando no tienen ningún elemento común.
• **Opuestos por el vértice** si tienen el vértice común y sus lados dos a dos.
• **Consecutivos** cuando tienen en común el vértice y uno de los lados.
• **Adyacentes** cuando tienen el vértice y un lado en común y suman un llano.

Todos estos conceptos que parecen elementales desde el punto de vista matemático, son demasiado abstractos para los niños de Primaria. Por eso, la aproximación que debe hacerse es utilizando **recursos que permitan visualizar** a los niños las principales características de estos elementos geométricos.

2.2. Formas Geométricas en el Plano

Las **líneas poligonales** están formadas por segmentos concatenados, pueden ser abiertas o cerradas, y su medida es su **perímetro**. Una línea poligonal es **convexa** si no puede ser cortada por una recta en más de dos puntos; en caso contrario, es **cóncava**.

**Polígono** es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada y su medida es el **área**. Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman **polígonos regulares**. El punto interior que equidista de los vértices es el centro.

2.2.1. Clasificación de Triángulos

El **triángulo** es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices, y sus tres ángulos interiores siempre suman 180°.

Atendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser: **equiláteros** (tres lados iguales), **isósceles** (dos lados iguales y uno desigual) y **escalenos** (los tres lados desiguales). Atendiendo a la amplitud de sus ángulos, los triángulos pueden ser: **rectángulos** (con un ángulo recto), **obtusángulos** (un ángulo obtuso) o **acutángulos** (tres ángulos agudos).

Destacar el **teorema de Pitágoras** aplicable a los triángulos rectángulos: el cuadrado de la **hipotenusa** es igual a la suma del cuadrado de los **catetos**. Teniendo en cuenta que los catetos son los lados que forman el ángulo recto y la hipotenusa el opuesto.

El área del triángulo viene determinada por la fórmula b·h/2.

2.2.2. Clasificación de Cuadriláteros

Los **cuadriláteros** son polígonos con cuatro lados, vértices y ángulos. La suma de los ángulos interiores siempre es 360°.

Atendiendo a los pares de lados paralelos, pueden darse tres situaciones:

1. Que los dos pares de lados sean paralelos, llamándose a estos cuadriláteros **paralelogramos**:
   • Los **cuadrados** tienen los cuatro lados iguales, los ángulos rectos y sus dos diagonales iguales y perpendiculares.
   • Los **rectángulos** tienen lados iguales dos a dos, los ángulos rectos y sus dos diagonales iguales y no perpendiculares.
   • Los **rombos** tienen los cuatro lados iguales, los ángulos iguales dos a dos, sus dos diagonales son distintas y perpendiculares.
   • Los **romboides** tienen los lados y los ángulos iguales dos a dos y sus diagonales son distintas y no perpendiculares.
2. Que solo tengan un par de lados paralelos, llamándose a estos cuadriláteros **trapecios**. Los trapecios pueden ser **rectángulo** (trapecio con dos ángulos rectos), **isósceles** (trapecio con lados no paralelos iguales) y **escaleno** (trapecio con los lados no paralelos desiguales).
3. Que no tengan ningún par de lados paralelos, llamándose a estos cuadriláteros **trapezoides**.

2.2.3. Curvas, Circunferencia y Círculo

Una **curva plana** es el conjunto de puntos que trazamos cuando deslizamos un lápiz sobre el papel sin levantarlo. Si por todos los puntos solo pasamos una vez, se dice que la curva es **simple**. Si los extremos coinciden, se dice que la curva es **cerrada**.

La **circunferencia** es la línea curva y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia de un punto interior llamado **centro**. Los elementos de la circunferencia más notables son: **centro**, **radio**, **cuerda**, **diámetro** y **arco**. La medida de la circunferencia es la **longitud de la circunferencia** y se calcula mediante la fórmula L = 2πr.

La región del plano comprendida dentro de una circunferencia se llama **círculo**. La medida del **círculo** es su **área** y se calcula mediante la fórmula A = πr².

2.3. Figuras Geométricas en el Espacio

2.3.1. Poliedros

Un **poliedro** es una porción del espacio delimitada por regiones poligonales planas. Los elementos fundamentales de todo poliedro son: **caras**, **aristas**, **vértices**, **diagonales**, **ángulos diedro** y **ángulos poliedros**. En todo poliedro con un número de vértices “v”, número de aristas “a” y número de caras “c”, se cumple la **característica de Euler**: c+v-a=2.

Un **poliedro regular** es un poliedro cuya superficie es convexa, sus caras son polígonos regulares y concurren el mismo número de caras en cada uno de los vértices.

Así, tan solo existen **cinco poliedros regulares**. Tres cuyas caras son triángulos: el **tetraedro** (4 caras), el **octaedro** (8 caras) y el **icosaedro** (20 caras). Un poliedro con caras cuadradas, el **hexaedro** (6 caras), y otro cuyas caras son pentágonos, el **dodecaedro** (12 caras).

2.3.2. Prismas y Pirámides

Los **prismas** son poliedros con dos **bases** formadas por polígonos iguales y tantas **caras laterales** como número de lados tienen las bases. Las caras laterales son paralelogramos y la **altura** de un prisma es la distancia que hay entre sus bases. Su área total es: AT=2·AB + AL y su volumen: V= AB·h.

Las **pirámides** son poliedros con una sola **base**, que puede ser cualquier polígono, y tantas **caras laterales** como lados tiene la base. Las caras laterales son triángulos que concurren todos en un vértice. Su área total es: AT=AB + AL y su volumen: V= ⅓AB·h.

2.3.3. Cuerpos Redondos

**Cilindro**: es la figura de revolución que se genera a partir del giro de un paralelogramo alrededor de uno de sus lados. Su área total es AT=2·AB + AL = 2· π·r² + 2· π·r·h y su volumen: V= AB·h = π·r²·h.

**Cono**: figura de revolución generada a partir del giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. Su área total es: AT=AB + AL = π·r² + π·r·h y su volumen: V= ⅓AB·h = ⅓π·r²·h.

**Esfera**: es la figura de revolución que se genera a partir del giro de un semicírculo alrededor de su diámetro. La superficie total de la esfera es AT=4 π·r² y su volumen: V=4/3· π·r³.

2.4. Relaciones Geométricas

En el Currículo de Educación Primaria encontramos numerosas referencias a la necesidad de estudiar y aplicar distintos tipos de **relaciones geométricas**. Cuando introducimos los primeros conceptos geométricos, partimos de la realidad tomando como modelo objetos que nos rodean. Se presentan a continuación los **movimientos del plano** que permiten establecer relaciones entre las figuras que conservan distintas propiedades.

2.4.1. Movimientos Rígidos del Plano

Se llama **movimientos rígidos del plano** o **isometrías** a movimientos que conservan el tamaño y la forma de las figuras. Se obtiene otra que tiene la misma forma y dimensiones que la inicial, pero se encuentra colocada en una posición distinta del plano. Existen tres tipos:

• **Traslaciones**.- Una traslación queda determinada dando el **vector** que indica la dirección en que se desplazan los puntos y la distancia a la que lo hacen (módulo del vector: distancia entre el origen y el extremo).
• **Giros**.- Un giro queda determinado dando un punto O, que será el **centro del giro** y permanecerá fijo, y la amplitud α de un ángulo orientado, que indica el ángulo de giro.
• **Simetrías**.- La simetría es el movimiento rígido del plano que se produce fijando una recta r del plano (**eje de simetría**) y hallando para cada punto P otro punto P´, de tal manera que la recta r es mediatriz del segmento PP’. La simetría invierte la orientación de las figuras.

De otra parte, encontramos las **homotecias** y **semejanzas**, que no son movimientos, porque las figuras transformadas tienen la misma forma que las originales pero distinto tamaño. Dos polígonos son semejantes cuando cada ángulo y su transformado tienen la misma amplitud y cada lado guarda con su transformado una **razón de semejanza**.

3. Intervención Educativa

3.1. Objetivos

Según **Escamilla y Lagares**, son enunciados que orientan el proceso de enseñanza-aprendizaje. Designan capacidades, habilidades y destrezas a desarrollar por el alumno en un tiempo determinado.

Los **objetivos de la Educación Primaria** se exponen en el artículo 17 de la **LOE-LOMCE** y coinciden con los del artículo 5 del **Decreto 54/2014**. Así, en el área de Matemáticas, trabajaremos de forma más específica los objetivos a, b, c, d, e, g, i y m, que tratan sobre:

• conocer y respetar las normas de convivencia,
• desarrollar hábitos de trabajo individual y de equipo,
• la prevención y resolución pacífica de conflictos,
• el respeto a otras culturas,
• el desarrollo de la **competencia matemática**,
• el uso de la lengua castellana,
• el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación, y
• el desarrollo de las capacidades afectivas de la persona.

3.2. Competencias

Tomando la definición de **Escamilla** (2009), las **competencias** son un importante elemento del currículo que los alumnos deben haber adquirido al final de la enseñanza obligatoria para poder lograr su realización personal, ejercer la ciudadanía activa, incorporarse a la vida adulta de manera satisfactoria y ser capaz de desarrollar un aprendizaje permanente a lo largo de la vida.

El **Real Decreto 126/2014**, el **Decreto 54/2014** y la **Orden ECD/65/2015**, por la que se establece la asociación de las competencias con los contenidos, criterios de evaluación y estándares de aprendizaje, determinan que la reforma educativa de la **LOMCE** tiene como objetivo la potenciación del **aprendizaje por competencias**.

Se establecen así siete **competencias clave**:

• **Comunicación lingüística**
• **Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología**
• **Competencia digital**
• **Aprender a aprender**
• **Competencias sociales y cívicas**
• **Sentido de la iniciativa y espíritu emprendedor**
• **Conciencia y expresión culturales**

El carácter interdisciplinar y globalizador de la etapa hace que el área contribuya en mayor o menor medida al desarrollo de la mayoría de las competencias, trabajando así el llamado **perfil competencial**: el conjunto de estándares que se relacionan con una misma competencia. No obstante, será en la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología donde esta área contribuirá más directamente.

3.3. Contenidos

El **Real Decreto 126/2014** los define como el conjunto de **conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes** que contribuyen al logro de los objetivos de cada enseñanza y etapa educativa y a la adquisición de competencias, y los organiza en los Bloques de Contenido.

Además, debemos destacar también la importancia de los **Elementos transversales**, expuestos en el artículo 10 del Real Decreto 126/2014, que debemos trabajar en todas las áreas, tales como la mejora de la convivencia, la tolerancia, la prudencia, el autocontrol, el diálogo, la empatía y la resolución de conflictos.

Los contenidos se agrupan en Bloques de Contenidos y, tal como hemos expuesto anteriormente, los relacionados con los expuestos en el tema se recogen en el **Bloque 4: Geometría**.

3.4. Metodología

En cuanto a las **orientaciones metodológicas** que el currículo presenta, son muy genéricas: trabajo en equipo, integración del conocimiento, construcción del conocimiento por parte del alumno, impulso a estrategias de aprendizaje, significación… Todas ellas infieren a la aproximación a una perspectiva de orientación **constructivista**, encontrando la aportación de autores como **Piaget**, **Vygotsky**, **Novak**, **Ausubel**.

Gracias a estos principios podemos establecer el **modelo de acción educativa** siguiendo las siguientes pautas: partir del nivel de desarrollo del alumno, fomentar la construcción de aprendizajes significativos, mostrar la funcionalidad de los aprendizajes, reconocer la actividad lúdica como un recurso adecuado a la etapa, etc.

Para concretar dichos principios, es necesario combinar dos tipos de estrategias: por un lado, las **estrategias didácticas de exposición de contenidos** y, por otro, las **estrategias didácticas de indagación**.

3.4.1. Estrategias Específicas

Periodo 6-8 años:

En primero, los niños están aprendiendo a decodificar, se van iniciando en la escritura y su dependencia del adulto es acusada. En segundo curso, el nivel de desarrollo en estas competencias está más avanzado y, por lo tanto, la metodología de trabajo también. Se trabaja la descripción de posiciones y movimientos y se desarrolla el **vocabulario geométrico**. Se introducen las **formas geométricas planas** más elementales.

Periodo 8-10 años:

Partimos de unas capacidades que están ya en proceso de adquisición; por ello, la enseñanza se centrará más en la práctica e interiorización del proceso. Poco a poco, los alumnos deberían ir adquiriendo claridad y precisión para describir las propiedades de los objetos geométricos y clasificarlos. Se profundiza en la **identificación de figuras planas, polígonos y cuerpos geométricos**.

Periodo 10-12 años:

Este periodo supone el término de la etapa; los alumnos, poco a poco, habrán interiorizado el proceso de cálculo. Se trabaja la descripción de posiciones y movimientos por medio de **coordenadas, distancias, ángulos, giros**… y la representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. También la formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras y el reconocimiento de **simetrías, ampliaciones y reducciones**.

3.5. Evaluación

Respecto a la evaluación, por un lado, los **Criterios de evaluación** suponen un elemento indispensable para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje porque permiten valorar la consecución de **Objetivos** y **Competencias**.

Por otro lado, la **LOMCE** modifica los elementos del Currículo y añade los **Estándares de Aprendizaje** que serán el referente para evaluaciones externas. Por su parte, el **Real Decreto 126/2014** señala que los Estándares definen los resultados de aprendizaje y concretan lo que el alumno debe saber, comprender y saber hacer de cada asignatura. Deben ser **observables, medibles y evaluables**.

La **Resolución de 11 de marzo de 2015**, por la que se establece la categorización, la ponderación y la asociación con las Competencias de los Estándares de aprendizaje, clasifica los estándares en **básicos**, que gozarán de un mínimo del 50% del valor de la nota; **intermedios**, que serán máximo el 40%; y **avanzados**, máximo 10%. Para ello contamos con la Herramienta **Evalúa 1.40**, gentileza de la Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha.

Esta Resolución establece además el **perfil de área**, conjunto de estándares de cada una de las áreas que determinará el grado de aprendizaje de dicha área.

El desarrollo del currículo debe ser **interdisciplinar**, lo que implica trabajar el resto de áreas desde, en este caso, las Matemáticas.

4. Conclusión y Reflexión Personal

5. Bibliografía y Webgrafía

• ALSINA, C., BURGUES, C., Y FORTUNY, J. M. (1991): Materiales para construir la geometría. Madrid: Síntesis.
• CHAMORRO, M. C. (2003): Didáctica de las matemáticas para Primaria. Madrid.
• GUTIÉRREZ, A. (1994): Las representaciones planas de cuerpos tridimensionales en la enseñanza de la geometría espacial. Revista EMA, vol. 3, n.º 3, pp. 193-220. Accesible en: http://www.uv.es/gutierre/archivos1/textospdf/Gut98a.pdf

• http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/
• www.cnice.mecd.es
• www.mismates.net
• Legislación comentada.