Estadística Unidimensional

Distribución de frecuencias

Distribución de frecuencias para valores no agrupados

• Valor de la variable: x_i
• Frecuencia absoluta: n_i
• Frecuencia relativa: f_i = n_i / N
• Frecuencia absoluta acumulada: N_i
• Frecuencia relativa acumulada: F_i
• Número total de datos: N

Distribución de frecuencias para valores agrupados en intervalos

• Amplitud del intervalo: a_i = L_i – L_i-1
• Valor de la variable (marca de clase): x_i = (L_i-1 + L_i) / 2
• Frecuencia absoluta: n_i
• Frecuencia relativa: f_i = n_i / N
• Frecuencia absoluta acumulada: N_i
• Frecuencia relativa acumulada: F_i
• Altura de cada intervalo: h_i = f_i / a_i
• Porcentaje: f_i * 100 = %

Medidas de Posición

Medidas de posición central

Media Aritmética: x̄ = Σ (x_i * n_i) / N o también: x̄ = Σ (x_i * f_i)

Propiedades:

1. Si a < x_i < b, entonces a < x̄ < b.
2. No varía si se multiplica o divide por una constante.
3. Σ (x_i – x̄)n_i = 0.
4. Teorema de König: La suma de las desviaciones al cuadrado de la variable respecto de una constante cualquiera (c) se hace mínima cuando c = x̄.
5. Se ve afectada por cambios de origen: si y_i = x_i + c, entonces ȳ = x̄ + c.
6. Se ve afectada por cambios de escala: si y_i = c * x_i, entonces ȳ = c * x̄.

Media Geométrica: G(x)

Propiedades:

1. Su logaritmo es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.
2. Es siempre menor o igual que la media aritmética.
3. Se utiliza para porcentajes, tasas y números índice.

Mediana (Me)

Datos sin agrupar:

• Caso 1: Si N/2 no figura en la columna de frecuencias absolutas acumuladas (N_i-1 < N/2 < N_i), entonces Me(x) = x_i.
• Caso 2: Si N/2 coincide con una de las frecuencias absolutas acumuladas (N/2 = N_i), entonces Me(x) = (x_i + x_i+1) / 2.

Datos agrupados en intervalos:

Se calcula el valor N/2, que se encontrará entre dos frecuencias acumuladas: N_i-1 < N/2 < N_i.

Fórmula: Me(x) = L_i-1 + a_i * [(N/2 – N_i-1) / n_i]

Moda (Mo)

• Datos sin agrupar: Se localiza la frecuencia máxima (n_i = n_max). El valor x_i asociado será la moda.
• Datos agrupados: Se trabaja con las alturas de los intervalos (h_i). Se localiza la altura máxima (h_i = h_max).

Medidas de Posición no central

• Cuartiles (Q_k): Dividen los datos en cuatro partes iguales (25%, 50%, 75%).
• Deciles (D_k): Dividen la serie en diez partes iguales.
• Percentiles (P_k): Dividen la serie en 100 partes iguales.

Medidas de Dispersión

Medidas de Dispersión Absolutas

• Recorrido: Re = x_max – x_min
• Recorrido Intercuartílico: RI = Q₃ – Q₁
• Varianza (S_x²): Σ [(x_i – x̄)² * n_i] / N
• Desviación Típica (S_x): √S_x²

Medidas de Dispersión Relativas

• Coeficiente de variación de Pearson: CV_x = S_x / x̄

Medidas de Forma

• Asimetría: Coeficientes de Pearson, Bowley-Yule y Fisher (g₁).
• Curtosis (g₂): Indica el grado de apuntamiento (mesocúrtica, leptocúrtica o platicúrtica).

Medidas de Concentración

• Índice de Gini (I_G): Mide la equidad en la distribución (valores entre 0 y 1).
• Curva de Lorenz: Representación gráfica de la concentración de la variable.