Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva

La estadística es una disciplina que se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar datos. Su objetivo principal es manejar la variabilidad e incertidumbre inherentes a los fenómenos, permitiendo hacer inferencias, tomar decisiones informadas y formular predicciones.

Ramas de la Estadística

• Estadística Descriptiva: Se enfoca en describir, analizar y representar un conjunto de datos utilizando métodos numéricos y gráficos. Sus resultados no pretenden ir más allá del conjunto de datos estudiado, sino resumir y presentar la información contenida en ellos.
• Estadística Inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muestrales, efectúa estimaciones, toma decisiones, realiza predicciones y generalizaciones sobre un conjunto de datos más amplio (la población).

Métodos Básicos de la Estadística Descriptiva

Los métodos fundamentales para el tratamiento estadístico de los datos incluyen:

• Recogida de datos.
• Ordenación y tabulación de los datos.
• Representación gráfica de los datos.
• Cálculo de estadísticos descriptivos.

Parámetros y Estadísticos: Conceptos Clave

En estadística, es crucial diferenciar entre los valores que describen una población completa y los que describen una muestra de esa población.

• Parámetro: Es una cantidad numérica que describe una característica de una población. Su objetivo es resumir toda la información de las variables de estudio en la población en unos pocos números.
• Estadístico: Es una cantidad numérica calculada sobre una muestra que resume los valores de las variables que forman parte del estudio. Por ejemplo, la altura media de los estudiantes en un aula específica (considerada una muestra).

Cuando un estadístico se utiliza para estimar o inferir un parámetro poblacional, se le denomina estimador. Generalmente, nos interesa conocer un parámetro, pero debido a la dificultad o imposibilidad de estudiar a toda la población, calculamos un estimador a partir de una muestra representativa.

Tipos de Medidas Estadísticas Descriptivas

Las medidas estadísticas descriptivas se clasifican en diferentes categorías según el aspecto de la distribución que valoran:

1. Medidas de Centralización

Describen la tendencia central de los datos, es decir, los valores alrededor de los cuales se agrupan las observaciones.

• Media: El promedio aritmético de todos los valores.
• Mediana: El valor central en un conjunto de datos ordenado.
• Moda: El valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

2. Medidas de Posición (No Centrales)

Son valores que dividen un conjunto de datos ordenado en partes iguales, indicando la posición relativa de una observación dentro de la distribución.

Se define el cuantil de orden a (con 0 < a < 1) como el valor que deja por debajo o igual a él una proporción a de las observaciones (es decir, aN de las observaciones).

• Cuartiles: Dividen los datos en cuatro partes iguales (Q1, Q2, Q3).
• Deciles: Dividen los datos en diez partes iguales.
• Percentiles: Dividen los datos en cien partes iguales.

3. Medidas de Dispersión

Indican cómo se distribuyen los datos respecto a la tendencia central, midiendo la variabilidad o dispersión de las observaciones.

• Rango: La diferencia entre el valor máximo y el mínimo.
• Varianza: El promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada valor respecto a la media.
• Desviación Estándar: La raíz cuadrada de la varianza, expresada en las mismas unidades que los datos originales.
• Coeficiente de Variación (CV): Una medida de dispersión relativa.

El Coeficiente de Variación (CV)

La dispersión de una variable aleatoria puede analizarse a partir de la media o la desviación típica. Sin embargo, limitarse a estos dos parámetros puede presentar inconvenientes, especialmente al comparar muestras o variables con diferentes unidades de medida.

Inconvenientes de la Desviación Típica para Comparaciones

1. Unidades de Medida No Comparables: No es posible comparar directamente la dispersión de dos distribuciones expresadas en unidades diferentes (ej. 50 metros vs. 60 euros).
2. Comparación de Errores: Una desviación típica menor no siempre implica menor dispersión relativa. Por ejemplo, una variación de 5 km en distancias entre provincias es menos significativa que una variación de 1 km entre viviendas en una zona rural, si las medias son muy diferentes. Una distribución con una desviación típica menor puede tener, en realidad, una mayor dispersión relativa.
3. Dependencia de la Escala: La desviación típica y la media dependen de la unidad de medida elegida. Al comparar el peso de elefantes (en toneladas) y mosquitos (en miligramos), la variabilidad del peso de los mosquitos parecerá insignificante debido a la escala, aunque individualmente puedan variar significativamente. El Coeficiente de Variación resuelve este problema al ser adimensional.

Estos inconvenientes resaltan la necesidad de una herramienta que permita realizar comparaciones de dispersión de manera fiable, evitando resultados erróneos o engañosos.

Definición y Características del Coeficiente de Variación

El Coeficiente de Variación (CV) es una medida de dispersión relativa que permite comparar la variabilidad entre conjuntos de datos con diferentes unidades o medias muy distintas.

• Expresa el tamaño de la desviación típica por unidad de media (CV = Desviación Típica / Media).
• Cuanto mayor sea el CV, mayor será la dispersión relativa y menor la representatividad de la media como medida de tendencia central.
• Es un coeficiente adimensional, lo que lo hace ideal para comparaciones.
• También puede expresarse en porcentaje.
• Si el CV es mayor que 1 (o 100%), la media puede no ser representativa de los datos, sugiriendo que otras medidas de centralización, como la mediana, podrían ser más adecuadas.

Aplicaciones del Coeficiente de Variación

1. Expresión en Porcentajes: Es frecuente mostrarlo en porcentajes para una interpretación más intuitiva.

   Ejemplo: Si la media es 80 y la desviación típica es 20, entonces CV = 20 / 80 = 0.25 = 25% (variabilidad relativa).

2. Comparación de Variabilidad entre Variables: Su naturaleza adimensional lo hace invaluable para comparar la variabilidad de diferentes variables.

   Ejemplo: Si el peso tiene un CV del 30% y la altura tiene un CV del 10%, los individuos presentan más dispersión en peso que en altura.

4. Medidas de Forma (Asimetría y Curtosis)

Estas medidas valoran la forma de la distribución de los datos, específicamente su simetría y su apuntamiento.

Medidas de Asimetría

Evalúan la simetría o inclinación de la distribución de los datos respecto a su eje central. Una distribución estadística es simétrica si su representación gráfica (diagrama de barras, histograma o polígono de frecuencias) lo es. En caso contrario, es asimétrica.

• Asimétrica Positiva o a la Derecha: La distribución desciende lentamente por la derecha, con una cola más larga hacia los valores altos. Generalmente, la Moda < Mediana < Media (Mo < Me < x̄).
• Simétrica: La distribución es igual a ambos lados de su eje central. La Moda = Mediana = Media (Mo = Me = x̄).
• Asimétrica Negativa o a la Izquierda: La distribución desciende lentamente por la izquierda, con una cola más larga hacia los valores bajos. Generalmente, la Media < Mediana < Moda (x̄ < Me < Mo).

Cómo Estudiar la Asimetría sin Representación Gráfica

Existen diferentes estadísticos para cuantificar la asimetría:

• Coeficiente de Asimetría de Pearson: Basado en la diferencia entre estadísticos de tendencia central.

  Ap = (Media - Moda) / Desviación Típica

• Coeficiente de Asimetría de Fisher: Basado en las desviaciones al cubo con respecto a la media.

  g1 = m3 / s3 (donde m3 es el tercer momento central y s es la desviación típica)

Medidas de Apuntamiento o Curtosis

Tratan de valorar la «estilización» o el grado de concentración de la representación gráfica de una distribución estadística alrededor de sus valores centrales y en sus extremos. Tienen sentido para funciones acampanadas, distribuciones simétricas o ligeramente asimétricas.

• Distribución Leptocúrtica: Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable, con colas más pesadas y un pico más agudo que una distribución normal.
• Distribución Mesocúrtica: Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable, similar al que presenta una distribución normal (curtosis = 0).
• Distribución Platicúrtica: Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable, con colas más ligeras y un pico más plano que una distribución normal.

Cómo Estudiar la Curtosis sin Representación Gráfica

Para cuantificar la curtosis, se utilizan coeficientes específicos:

• Coeficiente de Apuntamiento, Curtosis o Exceso de Fisher (g2):

  g2 = (m4 / s4) - 3 (donde m4 es el cuarto momento central y s es la desviación típica)

  • Si g2 > 0: La distribución es leptocúrtica.
  • Si g2 = 0: La distribución es mesocúrtica (similar a una distribución normal).
  • Si g2 < 0: La distribución es platicúrtica.
• Coeficiente de Curtosis Percentílico (SC):

  SC = (Q3 - Q1) / (2 * (P90 - P10))

  Donde Q1 y Q3 son el primer y tercer cuartil, y P10 y P90 son el percentil 10 y 90, respectivamente.

  • Si SC < 0.263: La distribución es leptocúrtica.
  • Si SC = 0.263: La distribución es mesocúrtica (similar a una distribución normal).
  • Si SC > 0.263: La distribución es platicúrtica.