Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Uniforme

En el Sistema Uniforme, las cuotas de amortización (A) son constantes. Los pagos (a) se calculan considerando el Valor Presente de Anualidades (VPA) con un descuento d = -Ai.

1. Amortización (A): A = C₀ / n
2. Término Amortizativo (a_k): a_k = A + I_k
3. Intereses (I_k): I_k = C_k-1 * i
4. Capital Pendiente (C_k): C_k = (n – k)A

Sistema Francés

El Sistema Francés se caracteriza por tener términos amortizativos o pagos (a) constantes. La cuota de amortización varía. Para calcular el término constante ‘a’, se establece una equivalencia financiera en el momento en que se inicia la amortización del préstamo, entre la prestación (C₀) y la contraprestación (valor de los pagos futuros).

1. Capital Inicial (C₀): C₀ = a * a_n|i
2. Término Amortizativo (a_k): a_k = A_k + I_k
3. Intereses (I_k): I_k = C_k-1 * i
4. Capital Pendiente (C_k): C_k = a * a_n-k|i

Sistema de Progresión Geométrica (VPG)

El Sistema de Progresión Geométrica (VPG) es similar al francés, pero los términos amortizativos varían en progresión geométrica.

1. Cálculo del primer término (a₁): C₀ = a₁ * (1 – qⁿ * (1+i)^-n) / ((1+i) – q)
2. Cálculo de un término específico (a_k): Por ejemplo, a₂₀ = a₁ * q¹⁹
3. Descomposición de un término (a_k): Si se solicita descomponer a₂₀ = A₂₀ + I₂₀, para calcular I₂₀ se necesita C₁₉. La fórmula para calcular el capital pendiente es: C_k = a₁ * q^k * (1 – q^n-k * (1+i)^-(n-k)) / ((1+i) – q)
4. Cálculo del Valor Futuro (Vf): El Valor Futuro se calcula de manera similar a C_k, pero con el interés de mercado (i_m). Si se solicita el Vf en el periodo 2 y existe una carencia en el año 1, el Vf en el periodo 2 será equivalente al Vf en el periodo 1, y este a su vez al Vf en el periodo 0. Por lo tanto, en estos casos, se emplearía la primera fórmula de C₀ y no la de C_k.

Nota Importante: Si la razón de la progresión geométrica es q = 1+i, la fórmula de C₀ cambia a: C₀ = n * a₁ * (1+i)^-1.

Conceptos Financieros Adicionales

Carencia

• Carencia Total: No se realiza ningún pago (ni capital ni intereses), pero la deuda aumenta debido a la capitalización de intereses. La deuda pendiente se calcula como: C_k = C₀ * (1+i)ⁿ.
• Carencia Parcial: Solo se pagan los intereses. La deuda principal se mantiene constante, y todos los pagos de intereses son iguales durante el periodo de carencia.

Valor Financiero

El Valor Financiero (Vf) permite determinar si conviene o no una cancelación anticipada del préstamo, comparando el interés del préstamo (i) con el interés de mercado (i_m).

Valor Financiero en el Sistema Uniforme

Primero, se debe ajustar el interés de mercado (i_m) a la periodicidad de trabajo. Luego, se aplican las siguientes fórmulas. Finalmente, se evalúa si la cancelación anticipada es conveniente: si i_m < i_préstamo, entonces Vf > C_k, lo que indica que sí interesa cancelar, ya que el pago anticipado por la cancelación es menor al Valor Financiero del préstamo.

1. Capital Pendiente (C_k): C_k = (n – k)A
2. Valor Nominal (N_k): N_k = A * a_n-k|im
3. Valor de la Prima (U_k): U_k = (i / i_m) * (C_k – N_k)
4. Valor Financiero (V_k): V_k = U_k + N_k

Valor Financiero en el Sistema Francés o VPG

Al igual que en el sistema uniforme, se ajusta el interés de mercado (i_m) a la periodicidad. Luego, se aplican las fórmulas. La conveniencia de la cancelación anticipada se evalúa de la misma manera: si i_m < i_préstamo, entonces Vf > C_k. Esto significa que sí interesa cancelar al cliente, porque el pago anticipado es menor al Valor Financiero del préstamo. Sin embargo, al banco le interesaría el mayor valor.

1. Capital Pendiente (C_k): Se calcula según el sistema correspondiente:
   • Sistema Francés: C_k = a * a_n-k|i
   • Sistema VPG: C_k = a₁ * q^k * (1 – q^n-k * (1+i)^-(n-k)) / ((1+i) – q)
2. Valor Financiero (V_k): Es igual que C_k, pero calculado con el interés de mercado (i_m).
3. Valor de la Prima (U_k): U_k = i / (i_m – i) * (C_k – V_k)
4. Valor Nominal (N_k): N_k = V_k – U_k

Comisiones

Existen diferentes tipos de comisiones asociadas a los préstamos:

1. Comisión por Cancelación Directa, Pago o Valor de Liquidación: Se calcula el saldo pendiente y se multiplica por un factor (ej. 1.01, si la comisión es del 1%).
2. Comisión por Modificación de Condiciones (sin cancelación): Se calcula como el saldo pendiente menos la amortización parcial, más un porcentaje sobre la amortización.
3. Comisión por Modificación de Condiciones (pago directo al banco): Se calcula como el saldo pendiente menos la amortización parcial. En este caso, la comisión se paga directamente al banco y no se incorpora a la nueva deuda.

Tasa Anual Equivalente (TAE)

La Tasa Anual Equivalente (TAE) se calcula mediante la siguiente ecuación de equivalencia financiera:

C₀ = Gastos de Apertura + (Cuantía de Interés de la Carencia Parcial * a_n|ie) / (1+i_e) + (Cuantía ‘a’ * a_n|ie) / ((1+i_e)^{periodo en el que se empieza a pagar}) + (Cancelación) / (1+i_e)^{año en el que se cancela}

• El Capital Inicial (C₀) siempre se refiere al capital original, incluso si la deuda ha aumentado debido a una carencia total.
• La Tasa Efectiva (i_e) debe estar en la misma periodicidad que los periodos de pago (ej. i_4e si es trimestral).
• Las ‘n’ en el numerador de las fracciones hacen referencia al número de veces que se pagan intereses o términos amortizativos.
• La ‘n’ en el denominador de la segunda fracción (la primera no lleva) hace referencia al periodo en el que se empiezan a pagar los términos amortizativos (ej. si es en el año 3, se usa ‘3’).

Cálculos y Consideraciones Especiales

Notas Adicionales

• Cambio de Condiciones: Antes de modificar las condiciones de un préstamo, se debe calcular el saldo pendiente. Este saldo se calcula con las condiciones del préstamo original (usando el interés inicial). El saldo pendiente puede ser el capital pendiente tal cual, o ajustado restando un pago extra y sumando una comisión, o solo restando una amortización. Es fundamental realizar un nuevo esquema de amortización.
• Carencia y Periodos: Cuando hay carencia, no se suelen indicar los meses en la parte superior de los esquemas. Si un préstamo es a 10 años (120 meses) pero solo se paga durante 5 años, la ‘n’ total para los cálculos será 60 (5 * 12).
• Cálculo de ‘a’ en Sistema Francés: Al calcular el término ‘a’ en el sistema francés, no es necesario actualizarlo, a menos que existan diferentes tramos de intereses o distintos valores de ‘a’ (ej. 2a, 3a).
• Términos en Sistema VPG: Si en el sistema VPG se solicita a₅, se debe recordar que no es el término ‘a’ constante, sino que se calcula como a₁ * (1.01)⁴ (asumiendo q=1.01).
• Cálculo de Interés (i) a partir de I_k: Si se conoce I_k y se desea calcular i: i = (1+I_k)ⁿ – 1.
• Cálculo de Interés Periódico (i_k) a partir de i: Si se conoce i y se desea calcular i_k: i_k = ^k√(1+i) – 1.
• Cancelación Anticipada: Si un préstamo se cancela en el año 7, que corresponde al trimestre 20, y se solicita la última trimestralidad antes de la cancelación, esta sería a₂₀.
• Cambio de Tipo de Interés: Si los intereses son del 4% hasta el año 2 y del 5% el resto, y se solicita calcular C₂, se debe usar el segundo tipo de interés (5%).
• Cálculo de ‘A’ en Sistema Uniforme con Carencia: Cuando no se indica el número de periodos de carencia en la parte superior, al calcular ‘A’ en el sistema uniforme, solo se usa ‘n’ en el denominador, sin restar nada. Además, si hay un cambio de condiciones, se vuelven a contar los meses desde el inicio de las nuevas condiciones, no se continúa la numeración anterior.
• Cálculo de C_k ante Cambios de Condiciones: Si en el año 7 hay un cambio de condiciones y no se ha solicitado C₇, pero se hace referencia al año 10 en un apartado posterior, se debe calcular C₇ (según el sistema anterior) y realizar un nuevo esquema de amortización, incluso si no se pide explícitamente.
• Determinación de ‘n’: Para un préstamo a 10 años con pagos mensuales, ‘n’ sería 120. Si se especifica que solo se paga durante 5 años, ‘n’ sería 60 (5 * 12). En caso de duda, es recomendable realizar todos los cálculos posibles.

Progresión de Cuotas de Amortización (A_k) o Términos Amortizativos (a_k)

Para calcular A_k o a_k utilizando la progresión característica de cada sistema:

1. Sistema Francés: La cuota de amortización (A_k) crece en progresión geométrica. A_k = A_k-1 * (1+i) = A₁ * (1+i)^k-1
2. Sistema Uniforme: El término amortizativo (a_k) decrece en progresión aritmética. a_k = a_k-1 – A*i = a₁ – (k-1)A*i